Математические уравнения в геофизике. Груздев В.Н. - 46 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

46
Ɂɚɞɚɧɢɟ 2. ɂɫɫɥɟɞɨɜɚɬɶ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɶ ɡɧɚɤɨɱɟɪɟɞɭɸɳɢɯɫɹ ɪɹɞɨɜ:
¦
f
1
2
1
)2(
)1(
n
n
n
,
¦
f
1
)14(
)3(
n
n
n
n
,
¦
f
1
12
2)12(
4)1(
n
n
n
n
.
Ɂɚɞɚɧɢɟ 3. ɇɚɣɬɢ ɨɛɥɚɫɬɶ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɢ ɫɬɟɩɟɧɧɨɝɨ ɪɹɞɚ:
¦
f
1
2
5
2
n
n
n
x .
Ɂɚɞɚɧɢɟ 4. Ɋɚɡɥɨɠɢɬɶ ɜ ɪɹɞ Ɇɚɤɥɨɪɟɧɚ ɮɭɧɤɰɢɸ: y = cos
2
x.
Ɂɚɞɚɧɢɟ 5. ȼɵɱɢɫɥɢɬɶ ɩɪɢɛɥɢɠɟɧɧɨ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ ɫ ɬɨɱɧɨɫɬɶɸ 0,001:
³
2/1
0
2
dxe
x
.
Ʌɚɛɨɪɚɬɨɪɧɚɹ ɪɚɛɨɬɚ 8 (3 ɱɚɫɚ). Ɋɹɞɵ ɢ ɢɧɬɟɝɪɚɥɵ Ɏɭɪɶɟ
Ɂɚɞɚɧɢɟ 1. Ɋɚɡɥɨɠɟɧɢɟ ɮɭɧɤɰɢɣ ɜ ɪɹɞ Ɏɭɪɶɟ. Ɂɚɞɚɧɢɟ ɜɵɞɚɟɬɫɹ
ɩɪɟɩɨɞɚɜɚɬɟɥɟɦ ɫɨɝɥɚɫɧɨ ɜɚɪɢɚɧɬɭ.
ɉɭɫɬɶ f(x) ɟɫɬɶ ɩɟɪɢɨɞɢɱɟɫɤɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ ɫ ɩɟɪɢɨɞɨɦ 2ʌ.
Ɍɪɢɝɨɧɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɢɣ ɪɹɞ ɜɢɞɚ: f(x) =
¦
f
1
0
)sincos(
2
n
nn
nxbnxa
a
ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ
ɪɹɞɨɦ Ɏɭɪɶɟ ɮɭɧɤɰɢɢ f(x). Ʉɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɵ ɚ
0
, ɚ
n
, b
n
ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ
ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚɦɢ Ɏɭɪɶɟ ɮɭɧɤɰɢɢ f(x) ɢ ɨɩɪɟɞɟɥɹɸɬɫɹ ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɚɦ:
ɚ
0
=
³
S
S
S
dxxf )(
1
, ɚ
n
=
³
S
S
S
nxdxxf cos)(
1
, b
n
=
³
S
S
S
nxdxxf sin)(
1
.
ȿɫɥɢ ɪɹɞ ɫɯɨɞɢɬɫɹ, ɬɨ ɟɝɨ ɫɭɦɦɚ ɟɫɬɶ ɩɟɪɢɨɞɢɱɟɫɤɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ f(x) ɜ
ɢɧɬɟɪɜɚɥɟ (ʌ, ʌ) ɫ ɩɟɪɢɨɞɨɦ 2ʌ. ɋɭɦɦɚ ɩɨɥɭɱɟɧɧɨɝɨ ɪɹɞɚ S(x) ɪɚɜɧɚ
ɡɧɚɱɟɧɢɸ ɮɭɧɤɰɢɢ f(x) ɜ ɬɨɱɤɚɯ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨɫɬɢ ɮɭɧɤɰɢɢ. ȼ ɬɨɱɤɚɯ
ɪɚɡɪɵɜɚ ɮɭɧɤɰɢɢ f(x) ɫɭɦɦɚ ɪɹɞɚ ɪɚɜɧɹɟɬɫɹ ɫɪɟɞɧɟɦɭ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɟɫɤɨɦɭ
ɩɪɟɞɟɥɨɜ ɮɭɧɤɰɢɢ f(x) ɫɩɪɚɜɚ ɢ ɫɥɟɜɚ, ɬ. ɟ. ɟɫɥɢ ɯ = ɫɬɨɱɤɚ ɪɚɡɪɵɜɚ
ɮɭɧɤɰɢɢ, ɬɨ S(x)
x=c
=
2
)0()0(
cfcf
.
ȿɫɥɢ ɜ ɪɹɞ Ɏɭɪɶɟ ɪɚɡɥɚɝɚɟɬɫɹ ɧɟɱɟɬɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ, ɬɨ ɚ
0
= 0, ɚ
n
= 0,
b
n
=
³
S
S
0
sin)(
2
nxdxxf
. ȿɫɥɢ ɜ ɪɹɞ Ɏɭɪɶɟ ɪɚɡɥɚɝɚɟɬɫɹ ɱɟɬɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ, ɬɨ
ɚ
0
=
³
S
S
0
)(
2
dxxf
, ɚ
n
=
³
S
S
0
cos)(
2
nxdxxf
, b
n
= 0.
ɉɪɢɦɟɪ 1. Ⱦɚɧɚ ɩɟɪɢɨɞɢɱɟɫɤɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ f(x) = x, –ʌ < x ʌ.
Ɋɚɡɥɨɠɢɬɶ ɮɭɧɤɰɢɸ f(x) ɜ ɪɹɞ Ɏɭɪɶɟ.
ɉɨ ɮɨɪɦɭɥɟ ɚ
0
=
³
S
S
S
dxxf )(
1
, ɧɚɯɨɞɢɦ ɚ
0
=
³
S
S
S
xdx
1
=
S
S
S
2
1
2
x
= 0.
                                                                                                                          �
                                                                                                                              (�1) n �1
������� 2. ����������� ���������� ����������������� �����:                                                               �n �1 ( 2n)
                                                                                                                                     2
                                                                                                                                        ,
 �
         (�3) n                    �
                                          (�1) n 4
� (4n � 1)
n �1
                          n
                              ,    � (2n � 1)2
                                   n �1
                                                        2 n �1
                                                                 .
                                                                                                           �
                                                                                                                2 n 2n
������� 3. ����� ������� ���������� ���������� ����:                                                       �
                                                                                                           n �1 5
                                                                                                                   x .

������� 4. ��������� � ��� ��������� �������: y = cos2x.
������� 5. ��������� ����������� �������� ��������� � ��������� 0,001:
1/ 2

 �e
       � x2
              dx .
 0

                              ������������ ������ 8 (3 ����). ���� � ��������� �����

     ������� 1. ���������� ������� � ��� �����. ������� ��������
�������������� �������� ��������.
     ����� f(x) ���� ������������� ������� � �������� 2�.
                                                                              a0 �
������������������ ��� ����: f(x) =                                             � � (a n cos nx � bn sin nx) ����������
                                                                              2 n �1
����� ����� ������� f(x). ������������ �0, �n, bn ����������
�������������� ����� ������� f(x) � ������������ �� ��������:
                  �                           �                                   �
              1                           1                                   1
�0 =              �� f ( x)dx , �n =              �� f ( x) cos nxdx , bn =       � f ( x) sin nxdx .
          �       �
                                          �   �
                                                                              �   ��

     ���� ��� ��������, �� ��� ����� ���� ������������� ������� f(x) �
��������� (�, �) � �������� 2�. ����� ����������� ���� S(x) �����
�������� ������� f(x) � ������ ������������� �������. � ������
������� ������� f(x) ����� ���� ��������� �������� ���������������
�������� ������� f(x) ������ � �����, �. �. ���� � = � – ����� �������
                                                  f (c � 0) � f (c � 0)
�������, �� S(x)x=c =                                                   .
                                                            2
                  ���� � ��� ����� ����������� �������� �������, �� �0 = 0, �n = 0,
                      �
                  2
bn =                  � f ( x) sin nxdx .     ���� � ��� ����� ����������� ������ �������, ��
                  �   0
                  �                           �
              2                           2
�0 =         f ( x)dx , �n = � f ( x) cos nxdx , bn = 0.
          ��      0
                            �                 0

     ������ 1. ���� ������������� ������� f(x) = x, –� < x � �.
��������� ������� f(x) � ��� �����.
                                                        �                                     �
                                                    1                                     1                1 x2
                  �� ������� �0 =                       �� f ( x)dx , ������� �0 =            �� xdx   =          �
                                                                                                                  ��   = 0.
                                                   �    �
                                                                                         �    �
                                                                                                           � 2




                                                                       46