Математические уравнения в геофизике. Груздев В.Н. - 48 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

48
ɋɬɨɹɳɟɟ ɫɩɪɚɜɚ ɜɵɪɚɠɟɧɢɟ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɢɧɬɟɝɪɚɥɨɦ Ɏɭɪɶɟ ɞɥɹ
ɮɭɧɤɰɢɢ f(x). Ⱦɚɧɧɨɟ ɪɚɜɟɧɫɬɜɨ ɢɦɟɟɬ ɦɟɫɬɨ ɞɥɹ ɜɫɟɯ ɬɨɱɟɤ, ɝɞɟ ɮɭɧɤɰɢɹ
ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɚ. ȼ ɬɨɱɤɚɯ ɪɚɡɪɵɜɚ ɜɵɩɨɥɧɹɟɬɫɹ ɪɚɜɟɧɫɬɜɨ
³
f
0
1
S
(
³
f
f
)(tf
)(cos xt
D
dt)dĮ =
2
)0()0(
xfxf
.
ɉɪɟɨɛɪɚɡɭɟɦ ɢɧɬɟɝɪɚɥ, ɫɬɨɹɳɢɣ ɜ ɩɪɚɜɨɣ ɱɚɫɬɢ ɪɚɜɟɧɫɬɜɚ (2),
ɪɚɫɤɪɵɜɚɹ cosĮ(t – x): cosĮ(t – x) = cos Įt cos + sin Įt sin Įx.
ȼɵɧɨɫɹ cos Įx ɢ sinĮx ɡɚ ɡɧɚɤ ɢɧɬɟɝɪɚɥɨɜ, ɝɞɟ ɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɟ
ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɫɹ ɩɨ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ t, ɩɨɥɭɱɢɦ:
f(ɯ)=
³
f
0
1
S
(
³
f
f
)(tft
D
cos dt)cos Įx dĮ +
³
f
0
1
S
(
³
f
f
)(tf t
D
sin dt)sin Įx dĮ. (3)
Ʉɚɠɞɵɣ ɢɡ ɢɧɬɟɝɪɚɥɨɜ ɩɨ t, ɫɬɨɹɳɢɣ ɜ ɫɤɨɛɤɚɯ, ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ, ɬɚɤ ɤɚɤ
ɮɭɧɤɰɢɹ f(t) ɚɛɫɨɥɸɬɧɨ ɢɧɬɟɝɪɢɪɭɟɦɚ ɜ ɢɧɬɟɪɜɚɥɟ (–; +), ɢ,
ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɚɛɫɨɥɸɬɧɨ ɢɧɬɟɝɪɢɪɭɟɦɚ ɢ ɮɭɧɤɰɢɹ f(t)cos Įt ɢ f(t)sinĮt.
Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɱɚɫɬɧɵɟ ɫɥɭɱɚɣ ɮɨɪɦɭɥɵ (3):
1. ɉɭɫɬɶ f(x) – ɱɟɬɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ. ȼ ɷɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ f(t)cos Įt – ɮɭɧɤɰɢɹ ɱɟɬɧɚɹ, ɚ
f(t)sinĮt – ɧɟɱɟɬɧɚɹ. Ɍɨɝɞɚ ɩɨɥɭɱɚɟɦ:
³
f
f
)(tft
D
cos dt = 2
³
f
0
)(tf
t
D
cos dt, ɚ
³
f
f
)(tf t
D
sin dt = 0. Ɏɨɪɦɭɥɚ (3) ɜ ɷɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɩɪɢɦɟɬ ɜɢɞ:
f(ɯ)=
³
f
0
2
S
(
³
f
0
)(tf
t
D
cos dt)cos Įx dĮ . (4)
2. ɉɭɫɬɶ f(x) – ɧɟɱɟɬɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ. ȼ ɷɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ f(t)cos Įt – ɮɭɧɤɰɢɹ
ɧɟɱɟɬɧɚɹ, ɚ f(t)sin Įt – ɱɟɬɧɚɹ. Ɍɨɝɞɚ ɩɨɥɭɱɚɟɦ:
³
f
f
)(tf
t
D
sin dt = 2
³
f
0
)(tf
t
D
sin dt,
ɚ
³
f
f
)(tft
D
cos dt = 0. Ɏɨɪɦɭɥɚ (3) ɜ ɷɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɩɪɢɦɟɬ ɜɢɞ:
f(ɯ)=
³
f
0
2
S
(
³
f
0
)(tf
t
D
sin dt)sin Įx dĮ . (5)
ȼ ɬɨɱɤɚɯ ɪɚɡɪɵɜɚ ɜɦɟɫɬɨ ɜɵɪɚɠɟɧɢɹ f(x) ɜ ɥɟɜɵɯ ɱɚɫɬɹɯ ɪɚɜɟɧɫɬɜ
ɫɥɟɞɭɟɬ ɩɢɫɚɬɶ
2
)0()0(
xfxf
.
ȼ ɜɵɪɚɠɟɧɢɢ (3) ɢɧɬɟɝɪɚɥɵ, ɫɬɨɹɳɢɟ ɜ ɫɤɨɛɤɚɯ, ɹɜɥɹɸɬɫɹ
ɮɭɧɤɰɢɹɦɢ ɨɬ Į. ȼɜɟɞɟɦ ɨɛɨɡɧɚɱɟɧɢɹ: Ⱥ(Į) =
S
1
³
f
f
)(tft
D
cos dt,
ȼ(Į) =
S
1
³
f
f
)(tf t
D
sin dt. Ɍɨɝɞɚ ɮɨɪɦɭɥɭ (3) ɦɨɠɧɨ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɜ ɜɢɞɟ:
f(ɯ)=
³
f
0
(Ⱥ(Į)cos Įx + ȼ(Į )sin Įx) dĮ. (6)
     ������� ������ ��������� ���������� ���������� ����� ���
������� f(x). ������ ��������� ����� ����� ��� ���� �����, ��� �������
����������. � ������ ������� ����������� ���������
                   �           �
              1                                                    f ( x � 0) � f ( x � 0)
                 ( f (t ) cos � (t � x) dt)d� =                                            .
              �� � 0           ��
                                                                              2
     ����������� ��������, ������� � ������ ����� ��������� (2),
��������� cos�(t – x): cos�(t – x) = cos �t cos + sin �t sin �x.
     ������ cos �x � sin�x �� ���� ����������, ��� ��������������
������������ �� ���������� t, �������:
                                   �       �                                     �    �
                               1                                             1
              f(�)=               ( f (t ) cos �t dt)cos �x d� + � ( � f (t ) sin �t dt)sin �x d�. (3)
                               �� �0       ��
                                                                �                0    ��

      ������ �� ���������� �� t, ������� � �������, ����������, ��� ���
������� f(t) ��������� ������������ � ��������� (–�; +�), �,
�������������, ��������� ������������ � ������� f(t)cos �t � f(t)sin�t.
      ���������� ������� ������ ������� (3):
1. ����� f(x) – ������ �������. � ���� ������ f(t)cos �t – ������� ������, �
                                                                             �                          �
f(t)sin�t – ��������. ����� ��������:                                        � f (t ) cos �t dt   = 2 � f (t ) cos �t dt,        �
                                                                            ��                          0
�

� f (t ) sin �t dt
��
                                       =        0.   �������       (3)      �        ����      ������       ������          ���:
               �        �
          2
f(�)=       ( f (t ) cos �t dt)cos �x d� .                         (4)
         �� �  0           0

2. ����� f(x) – �������� �������. � ���� ������ f(t)cos �t – �������
                                                                                       �                         �
��������, � f(t)sin �t – ������. ����� ��������:                                       � f (t ) sin �t dt = 2 � f (t ) sin �t dt,
                                                                                       ��                        0
     �
�    � f (t ) cos �t dt                         = 0.   ������� (3)               �    ���� ������               ������      ���:
     ��
               �        �
          2
f(�)=          �       ( � f (t ) sin �t dt)sin �x d� . (5)
         �     0           0

              � ������ ������� ������ ��������� f(x) � ����� ������ ��������
                                       f ( x � 0) � f ( x � 0)
������� ������                                                 .
                                                  2
              � ��������� (3) ���������, ������� � �������, ��������
                                                                                                                �
                                                                                                            1
��������� �� �. ������ �����������:                                                         �(�) =              � f (t ) cos �t dt,
                                                                                                            �   ��
                       �
               1
�(�) =                 � f (t ) sin �t dt. ����� ������� (3) ����� �������� � ����:
               �       ��
         �
f(�)= � (�(�)cos �x + �(� )sin �x) d�. (6)
          0



                                                                     48