Математические уравнения в геофизике. Груздев В.Н. - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

50
f(ɯ) =
³
f
0
1
S
(
³
f
f
)(tf
)(cos xt
D
dt)dĮ=
³
f
0
1
S
(
³
1
0
1
·
)(cos xt
D
dt)dĮ. =
=
³
f
0
1
S
1
0
)(sin
D
D
xt
dĮ =
³
f
0
1
S
D
D
D
xx sin)1(sin
dĮ =
³
f
0
2
S
D
D
D
2
)21(
cos
2
sin
x
dĮ
.
ȼ ɬɨɱɤɚɯ ɯ = 0 ɢɯ = 1, ɝɞɟ f(x) ɬɟɪɩɢɬ ɪɚɡɪɵɜ, ɩɨɥɭɱɟɧɧɨɟ
ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɟ ɫɨɯɪɚɧɹɟɬɫɹ, ɬɚɤ ɤɚɤ ɜ ɷɬɢɯ ɬɨɱɤɚɯ
2
)0()0(
xfxf
=
2
1
=
= f(x).
ȼ ɱɚɫɬɧɨɫɬɢ, ɩɪɢ ɯ = 0 ɩɨɥɭɱɢɦ: f(0) =
2
1
=
³
f
0
1
S
D
D
D
2
cos
2
sin2
dĮ =
=
³
f
0
1
S
D
D
sin
dĮ, ɱɬɨ ɪɚɜɧɨɫɢɥɶɧɨ ɪɚɜɟɧɫɬɜɭ
³
f
0
D
D
sin
=
2
S
.
ɉɪɢɦɟɪ 5. ɉɪɟɞɫɬɚɜɢɬɶ ɢɧɬɟɝɪɚɥɨɦ Ɏɭɪɶɟ ɮɭɧɤɰɢɸ
°
¯
°
®
!
dd
.2,0
,20,
2
1
)(
x
x
x
xf
ɩɪɨɞɨɥɠɢɜ ɟɟ ɱɟɬɧɵɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ɞɥɹ ɨɬɪɢɰɚɬɟɥɶɧɵɯ
ɡɧɚɱɟɧɢɣ.
Ɂɚɞɚɧɧɚɹ ɱɟɬɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɟɬ ɭɫɥɨɜɢɹɦ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɹ ɜ
ɜɢɞɟ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ Ɏɭɪɶɟ, ɩɨɷɬɨɦɭ ɤ ɧɟɣ ɦɨɠɧɨ ɩɪɢɦɟɧɢɬɶ ɮɨɪɦɭɥɭ
f(ɯ) =
³
f
0
2
S
(
³
f
0
)(tf
t
D
cos dt)cos Įx dĮ, ɜ ɤɨɬɨɪɨɣ ɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɬɶ ɮɭɧɤɰɢɸ f(t)
ɧɚɞɨ ɬɨɥɶɤɨ ɩɨ ɨɬɪɟɡɤɭ [0, 2], ɬɚɤ ɤɚɤ ɜɧɟ ɷɬɨɝɨ ɨɬɪɟɡɤɚ ɨɧɚ ɪɚɜɧɚ ɧɭɥɸ.
ɂɦɟɟɦ f(ɯ) =
³
f
0
2
S
(
³
2
0
)
2
1(
t
t
D
cos dt)cos Įx dĮ.
ȼɵɱɢɫɥɢɦ ɨɬɞɟɥɶɧɨ ɜɧɭɬɪɟɧɧɢɣ ɢɧɬɟɝɪɚɥ ɩɨ ɱɚɫɬɹɦ:
³
2
0
)
2
1(
t
t
D
cos dt = (1 –
2
t
)
2
0
sin
D
D
t
+
³
2
0
sin
2
1
tdt
D
D
= (0 – 0) -
2
0
2
cos
2
1
t
D
D
=
=
2
2
2cos1
D
D
=
2
2
sin
D
D
, ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, f(ɯ) =
³
f
0
2
2
sin2
D
D
S
cos
x
D
d
D
, ɜ ɱɚɫɬɧɨɫɬɢ,
ɩɪɢ ɯ = 0 ɢɦɟɟɦ: f(0) = 1 =
³
f
0
2
2
sin2
D
D
S
d
D
, ɬ. ɟ.
³
f
0
2
2
sin
D
D
d
D
=
2
S
.
Ɂɚɞɚɧɢɟ 3. ȼɵɱɢɫɥɟɧɢɟ ɢɧɬɟɝɪɚɥɨɜ Ɏɭɪɶɟ ɜ ɤɨɦɩɥɟɤɫɧɨɣ ɮɨɪɦɟ.
Ɂɚɞɚɧɢɟ ɜɵɞɚɟɬɫɹ ɩɪɟɩɨɞɚɜɚɬɟɥɟɦ ɫɨɝɥɚɫɧɨ ɜɚɪɢɚɧɬɭ.
f(ɯ)=
³
f
f
S
2
1
(
³
f
f
)(tf e
iĮ(t-x)
dt)dĮ – ɢɧɬɟɝɪɚɥ Ɏɭɪɶɟ ɜ ɤɨɦɩɥɟɤɫɧɨɣ ɮɨɪɦɟ.
ɗɬɭ ɮɨɪɦɭɥɭ ɦɨɠɧɨ ɩɟɪɟɩɢɫɚɬɶ ɬɚɤ: f(ɯ) =
³
f
f
S
2
1
(
S
2
1
³
f
f
)(tf e
iĮt
dt)e
-iĮx
dĮ.
                                          �        �                                                          �        1
                                  1                                                                       1
f(�)                 =               ( f (t ) cos � (t � x) dt)d�=                                           ( 1 · cos � (t � x) dt)d�.                                  =
                                  �� �    0        ��
                                                                                                          �� �0        0

                                                                                                                                             �             � (1 � 2 x)
            �                                                   �                                                              �       sin          cos
        1       sin � (t � x)                               1        sin � (1 � x) � sin �x                                2                    2                2
=           �
                                          1
                                          0   d� =              �                                     d� =                     �                                         d�
        �   0
                         �                                  �   0
                                                                                  �                                        �   0
                                                                                                                                                      �
.
                � ������ � = 0 � � = 1, ��� f(x) ������ ������, ����������
                                                                                                                           f ( x � 0) � f ( x � 0)  1
������������� �����������, ��� ��� � ���� ������                                                                                                   = =
                                                                                                                                      2             2
    = f(x).
                                                                                                                                                     �           �
                                                                                                                                   �        2 sin          cos
                                                       1 1                                                                                           2           2
                � ���������, ��� � = 0 �������: f(0) = =                                                                           �                                 d� =
                                                       2 �                                                                         0
                                                                                                                                                     �
            �                                                                                     �
        1       sin �                                                                                     sin �                �
=                            d�, ��� ����������� ���������                                                             =           .
        ��  0
                  �                                                                               �
                                                                                                  0
                                                                                                              �                2
                ������                        5.        �����������                         ����������                             �����                     �������
             � x
             �1 � , 0 � x � 2,
    f ( x) � � 2               ��������� �� ������ ������� ��� �������������
             �0, x � 2.
             �
��������.
     �������� ������ ������� ������������� �������� ������������� �
���� ��������� �����, ������� � ��� ����� ��������� �������
                     �       �
                 2
f(�) =             ( f (t ) cos �t dt)cos �x d�, � ������� ������������� ������� f(t)
                �� � 0       0

���� ������ �� ������� [0, 2], ��� ��� ��� ����� ������� ��� ����� ����.
                                     �         2
                                 2                      t
����� f(�) =                        ( (1 � ) cos �t dt)cos �x d�.
                                 �� � 0
                                          2    0

                ��������                           ��������                   ����������                          ��������                          ��           ������:
                                                            t sin �t
2                                                                                             2
        t                                                                                   1                         1
�0 (1 � 2 ) cos �t dt = (1 –                                  )                   +
                                                                                           2� �0
                                                                                                 sin �tdt = (0 – 0) - 2 cos �t 02 =
                                                                              2
                                                                              0
                                                            2    �                                                   2�
                                                                                                      �
        1 � cos 2�   sin 2 �                        2 sin 2 �
    =              =         , �������������, f(�) = � 2 cos �x d � , � ���������,
           2� 2
                       � 2
                                                    � 0 �
                                                                     �                                �
                                                                    2 sin 2 �                             sin 2 �                           �
��� � = 0 �����: f(0) = 1 =                                                       d � , �. �.                              d� =                 .
                                                                    ��0   �   2                       �
                                                                                                      0       �2                            2
     ������� 3. ���������� ���������� ����� � ����������� �����.
������� �������� �������������� �������� ��������.
                                 �            �
                          1
                f(�)=            �        ( � f (t ) ei�(t-x) dt)d� – �������� ����� � ����������� �����.
                         2�      ��           ��
                                                                                                              �                        �
                                                                                                      1                    1                         i�t
��� ������� ����� ���������� ���: f(�) =                                                                      �    (                   � f (t ) e          dt)e-i�xd�.
                                                                                                      2�      ��           2�          ��

                                                                                      50

Страницы