ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
44
f(x) = c
0
+ c
1
x + c
2
x
2
+ c
3
x
3
+ . . . + c
n
x
n
+ . . . ȼɵɪɚɡɢɦ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɵ ɪɹɞɚ
ɱɟɪɟɡ f(x): c
0
= f(0), c
1
= f
/
(0), c
2
=
!2
)0(
//
f
, c
3
=
!3
)0(
///
f
.
Ɋɹɞɨɦ Ɇɚɤɥɨɪɟɧɚ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɪɹɞ ɜɢɞɚ:
f(x) = f(0) + f
/
(0)x +
!2
)0(
//
f
x
2
+
!3
)0(
///
f
x
3
+ . . . +
!
)0(
)(
n
f
n
x
n
+ . . .
Ɋɚɡɥɨɠɟɧɢɟ ɜ ɪɹɞ Ɇɚɤɥɨɪɟɧɚ ɧɟɤɨɬɨɪɵɯ ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɵɯ ɮɭɧɤɰɢɣ.
1. ɟ
ɯ
= 1 + ɯ +
!2
2
x
+
!3
3
x
+ . . . +
!n
x
n
+ . . . Ɉɛɥɚɫɬɶ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɢ ɪɹɞɚ (–f; f).
2. sin x = ɯ–
!3
3
x
+
!5
5
x
– . . . +
)!12(
)1(
121
n
x
nn
+ . . . Ɉɛɥɚɫɬɶ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɢ ɪɹɞɚ (–f; f).
3. ɫos x = 1–
!2
2
x
+
!4
4
x
– . . . +
)!2(
)1(
2
n
x
nn
+ . . . Ɉɛɥɚɫɬɶ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɢ ɪɹɞɚ (–f; f).
4. (1 + ɯ)
m
= 1 + mx +
2
!2
)1(
x
mm
+
3
!3
)2)(1(
x
mmm
+ . . . +
n
x
n
nmmm
!
)1)(1(
+ . . ., ɝɞɟ m – ɥɸɛɨɟ ɞɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɨɟ ɱɢɫɥɨ. ɂɧɬɟɪɜɚɥ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɢ ɪɹɞɚ
(–1; 1) (ɧɚ ɤɨɧɰɚɯ ɢɧɬɟɪɜɚɥɚ ɩɪɢ ɯ = 1 ɢɯ = –1 ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɶ ɪɹɞɚ ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ
ɤɨɧɤɪɟɬɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ m).
5. ln(1 + x) = ɯ –
2
2
x
+
3
3
x
– . . . +
1
)1(
1
n
x
nn
+ . . .Ɉɛɥɚɫɬɶ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɢ ɪɹɞɚ (–1; 1).
ɉɪɢɦɟɪ 8. Ɋɚɡɥɨɠɢɬɶ ɜ ɪɹɞ ɮɭɧɤɰɢɸ ɭ =
2
2
1
x
e
x
.
ȼɨɫɩɨɥɶɡɭɟɦɫɹ ɮɨɪɦɭɥɨɣ: ɟ
ɯ
= 1 + ɯ +
!2
2
x
+
!3
3
x
+ . . . +
!n
x
n
+ . . .
Ɂɚɦɟɧɢɦ ɜ ɷɬɨɣ ɮɨɪɦɭɥɟ ɯ ɧɚ (–ɯ
2
), ɩɨɥɭɱɢɦ:
2
x
e
= 1 – ɯ
2
+
!2
4
x
–
!3
6
x
+ . . . +
+
!
)1(
2
n
x
n
n
+ . . . , ɬɨɝɞɚ 1 –
2
x
e
= ɯ
2
–
!2
4
x
+
!3
6
x
+ . . . +
!
)1(
2
1
n
x
n
n
+ . . . , ɢ
ɧɚɤɨɧɟɰ ɩɨɥɭɱɢɦ:
2
2
1
x
e
x
= 1 –
!2
2
x
+
!3
4
x
+ . . . +
!
)1(
22
1
n
x
n
n
+ . . .
ɉɪɢɦɟɪ 9. Ɋɚɡɥɨɠɢɬɶ ɜ ɪɹɞ ɮɭɧɤɰɢɸ: ɭ =
x
x
1
1
ln
.
ȼɨɫɩɨɥɶɡɭɟɦɫɹ ɪɚɡɥɨɠɟɧɢɟɦ: ln(1 + x) = ɯ –
2
2
x
+
3
3
x
– . . . +
1
)1(
1
n
x
nn
+
+ ... Ɂɚɦɟɧɢɦ ɯ ɧɚ (–ɯ), ɩɨɥɭɱɢɦ: ln(1–x) = –ɯ –
2
2
x
–
3
3
x
– . . . –
1
1
n
x
n
– . . .,
ɬɨɝɞɚ
x
x
1
1
ln
= ln(1+x) – ln(1–x) = (ɯ –
2
2
x
+
3
3
x
– . . . +
1
)1(
1
n
x
nn
+ . . .) – (–ɯ –
–
2
2
x
–
3
3
x
– . . . –
1
1
n
x
n
– . . .) = 2(x +
3
3
x
+
5
5
x
+ . . .
12
12
n
x
n
+ . . . ).
f(x) = c0 + c1x + c2x2 + c3x3 + . . . + cnxn + . . . ������� ������������ ����
f // (0) f /// (0)
����� f(x): c0 = f(0), c1 = f/(0), c2 = , c3= .
2! 3!
����� ��������� ���������� ��� ����:
f // (0) 2 f /// (0) 3 f ( n ) (0) n
f(x) = f(0) + f/(0)x + x + x +...+ x +...
2! 3! n!
���������� � ��� ��������� ��������� ������������ �������.
� x2 x3 xn
1. � = 1 + � + + +...+ + . . . ������� ���������� ���� (–�; �).
2! 3! n!
3 5 n �1 2 n �1
x x (�1) x
2. sin x = �– + – . . . + + . . . ������� ���������� ���� (–�; �).
3! 5! (2n � 1)!
x2 x4 (�1) n x 2 n
3. �os x = 1– + –...+ + . . . ������� ���������� ���� (–�; �).
2! 4! (2n)!
m(m � 1) 2 m(m � 1)(m � 2) 3 m(m � 1)(m � n � 1) n
4. (1 + �)m = 1 + mx + x + x +...+ x
2! 3! n!
+ . . ., ��� m – ����� �������������� �����. �������� ���������� ����
(–1; 1) (�� ������ ��������� ��� � = 1 � � = –1 ���������� ���� ������� ��
���������� �������� m).
x2 x3 (�1) n x n �1
5. ln(1 + x) = � – + –...+ + . . .������� ���������� ���� (–1; 1).
2 3 n �1
2
1 � e� x
������ 8. ��������� � ��� ������� � = .
x2
x 2
x3 xn
������������� ��������: �� = 1 + � + + + . . . + + . . .
2! 3! n!
4 6
x x
������� � ���� ������� � �� (–�2), �������: e � x = 1 – �2 + – +...+
2
2! 3!
2n 4 6 2n
x x x x
+ (�1) n + . . . , ����� 1 – e � x = �2 – + + . . . + (�1) n �1 +..., �
2
n! 2! 3! n!
2
1 � e� x x2 x4 x2n �2
������� �������: 2
=1– + + . . . + (�1) n �1 +...
x 2! 3! n!
1� x
������ 9. ��������� � ��� �������: � = ln .
1� x
x 2
x3 (�1) n x n �1
������������� �����������: ln(1 + x) = � – + –...+ +
2 3 n �1
x2 x3 x n �1
+ ... ������� � �� (–�), �������: ln(1–x) = –� – – –...– – . . .,
2 3 n �1
1� x x2 x3 (�1) n x n �1
����� ln = ln(1+x) – ln(1–x) = (� – + –...+ + . . .) – (–� –
1� x 2 3 n �1
x2 x3 x n �1 x3 x5 x 2 n �1
– – –...– – . . .) = 2(x + + +... + . . . ).
2 3 n �1 3 5 2n � 1
44
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 42
- 43
- 44
- 45
- 46
- …
- следующая ›
- последняя »
