Математические уравнения в геофизике. Груздев В.Н. - 43 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

43
ɉɪɢɦɟɪ 6. ɇɚɣɬɢ ɨɛɥɚɫɬɶ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɢ ɫɬɟɩɟɧɧɨɝɨ ɪɹɞɚ: 1 + ɯ +
+ ɯ
2
+ . . . + ɯ
n
+ …
Ⱦɚɧɧɵɣ ɪɹɞ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɝɟɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɢɦ ɪɹɞɨɦ ɫɨ ɡɧɚɦɟɧɚɬɟɥɟɦ q = ɯ.
Ɋɹɞ ɫɯɨɞɢɬɫɹ, ɟɫɥɢ _ɯ_ < 1. Ɉɬɫɸɞɚ, ɨɛɥɚɫɬɶɸ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɢ ɪɹɞɚ ɹɜɥɹɟɬɫɹ
ɢɧɬɟɪɜɚɥ (–1; 1).
ɉɪɢɦɟɪ 7. ɇɚɣɬɢ ɨɛɥɚɫɬɶ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɢ ɫɬɟɩɟɧɧɨɝɨ ɪɹɞɚ:
¦
f
1
2
3)12(
2
n
n
nn
n
x
.
ɇɚɯɨɞɢɦ ɪɚɞɢɭɫ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɢ ɫɬɟɩɟɧɧɨɝɨ ɪɹɞɚ: R =
1
lim
fo
n
n
n
c
c
=
=
12
1
2
3)1)1(2(
2
:
3)12(
2
lim
fo
n
n
n
n
n
nn
=
2
3
2
2
)12(
)32(
lim
fo
n
n
n
=
2
3
. Ɍɨɝɞɚ |x| < R,
ɨɬɤɭɞɚ ɩɨɥɭɱɢɦ ɢɧɬɟɪɜɚɥ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɢ ɪɹɞɚ: (–
2
3
;
2
3
).
ɂɫɫɥɟɞɭɟɦ ɩɨɜɟɞɟɧɢɟ ɪɹɞɚ ɧɚ ɤɨɧɰɚɯ ɢɧɬɟɪɜɚɥɚ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɢ.
ɇɚ ɥɟɜɨɦ ɤɨɧɰɟ ɩɪɢ ɯ = -
2
3
ɞɚɧɧɵɣ ɫɬɟɩɟɧɧɨɣ ɪɹɞ ɩɪɢɦɟɬ ɜɢɞ
ɫɥɟɞɭɸɳɟɝɨ ɡɧɚɤɨɱɟɪɟɞɭɸɳɟɝɨɫɹ ɱɢɫɥɨɜɨɝɨ ɪɹɞɚ: 1 –
2
3
1
+
2
5
1
– . . . +
2
)12(
)1(
n
n
+ . . . ɗɬɨɬ ɪɹɞ ɫɯɨɞɢɬɫɹ ɩɨ ɩɪɢɡɧɚɤɭ Ʌɟɣɛɧɢɰɚ. ɉɪɢɱɟɦ,
ɡɧɚɤɨɱɟɪɟɞɭɸɳɢɣɫɹ ɪɹɞ ɫɯɨɞɢɬɫɹ ɚɛɫɨɥɸɬɧɨ.
ɇɚ ɩɪɚɜɨɦ ɤɨɧɰɟ ɩɪɢ ɯ =
2
3
ɩɨɥɭɱɚɟɦ ɱɢɫɥɨɜɨɣ ɪɹɞ ɫ
ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɵɦɢ ɱɥɟɧɚɦɢ: 1 +
2
3
1
+
2
5
1
– . . . +
2
)12(
1
n
+ . . .,
ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɸɳɢɣ ɫɨɛɨɣ ɨɛɨɛɳɟɧɧɵɣ ɝɚɪɦɨɧɢɱɟɫɤɢɣ ɪɹɞ ɩɪɢ D = 2, ɭ
ɤɨɬɨɪɨɝɨ ɜɫɟ ɱɥɟɧɵ ɫ ɱɟɬɧɵɦɢ ɧɨɦɟɪɚɦɢ ɪɚɜɧɵ ɧɭɥɸ. ɗɬɨɬ ɪɹɞ ɫɯɨɞɢɬɫɹ.
ɂɬɚɤ, ɨɛɥɚɫɬɶ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɢ ɞɚɧɧɨɝɨ ɪɹɞɚ ɛɭɞɟɬ ɢɦɟɬɶ ɜɢɞ: [–
2
3
;
2
3
].
ɉɪɢ ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɧɢɢ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɢ ɪɹɞɚ ɧɚ ɤɨɧɰɚɯ ɢɧɬɟɪɜɚɥɚ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɢ
ɩɪɢɦɟɧɹɬɶ ɩɪɢɡɧɚɤ Ⱦɚɥɚɦɛɟɪɚ ɧɟ ɢɦɟɟɬ ɫɦɵɫɥɚ, ɬɚɤ ɤɚɤ ɜ ɷɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ
ɜɫɟɝɞɚ ɛɭɞɟɦ ɩɨɥɭɱɚɬɶ
n
n
n
u
u
1
lim
fo
= 1. ȼ ɷɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɪɟɤɨɦɟɧɞɭɟɬɫɹ
ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɬɶ ɞɪɭɝɢɟ ɩɪɢɡɧɚɤɢ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɢ.
Ɂɚɞɚɧɢɟ 4. Ɋɹɞ Ɇɚɤɥɨɪɟɧɚ ɢ ɟɝɨ ɩɪɢɦɟɧɟɧɢɟ. Ɂɚɞɚɧɢɟ ɜɵɞɚɟɬɫɹ
ɩɪɟɩɨɞɚɜɚɬɟɥɟɦ, ɫɨɝɥɚɫɧɨ ɜɚɪɢɚɧɬɚ.
ȿɫɥɢ ɮɭɧɤɰɢɹ f(x) ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɚ ɢ n ɪɚɡ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɪɭɟɦɚɹ ɜ
ɨɤɪɟɫɬɧɨɫɬɢ ɬɨɱɤɢ ɯ = 0, ɬɨ ɨɧɚ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɚ ɜ ɜɢɞɟ ɫɭɦɦɵ
ɫɬɟɩɟɧɧɨɝɨ ɪɹɞɚ, ɬ. ɟ. ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɪɚɡɥɨɠɟɧɚ ɜ ɫɬɟɩɟɧɧɨɣ ɪɹɞ ɜɢɞɚ:
       ������ 6. ����� ������� ���������� ���������� ����: 1 + � +
+ �2 + . . . + �n + …
       ������ ��� �������� �������������� ����� �� ������������ q = �.
��� ��������, ���� ��� < 1. ������, �������� ���������� ���� ��������
�������� (–1; 1).
                                                                                                      �
                                                                                                              2n x n
         ������ 7. ����� ������� ���������� ���������� ����:                                         � (2n � 1)
                                                                                                      n �1
                                                                                                                  2
                                                                                                                       3n
                                                                                                                            .

                                                                                                     cn
         ������� ������ ���������� ���������� ����: R = lim                                               =
                                                        n��                                         cn �1
              2n                        2 n �1                          3       (2n � 3) 2        3
= lim                       :                                     =       lim                =      . ����� |x| < R,
  n ��
         (2n � 1)   2   n
                        3       (2(n � 1) � 1)   2
                                                     3  n �1           2  n � � (2n � 1) 2       2
                                                                                      3 3
������ ������� �������� ���������� ����: (–                                            ; ).
                                                                                     2 2
         ��������� ��������� ���� �� ������ ��������� ����������.
                                  3
         �� ����� ����� ��� � = -   ������ ��������� ��� ������ ���
                                 2
                                                    1    1
���������� ������������������ ��������� ����: 1 – 2 + 2 – . . . +
                                                    3    5
  (�1) n
           + . . . ���� ��� �������� �� �������� ��������. ������,
(2n � 1) 2
����������������� ��� �������� ���������.
                                                                                3
         �� ������ ����� ��� � =                                                     �������� �������� ��� �
                                                                               2
                                                                  1             1                     1
�������������� �������: 1 +                                                +         – . . . +                + . . .,
                                                                  32            52                 (2n � 1) 2
�������������� ����� ���������� ������������� ��� ��� � = 2, �
�������� ��� ����� � ������� �������� ����� ����. ���� ��� ��������.
                                                                                                               3 3
         ����, ������� ���������� ������� ���� ����� ����� ���: [–                                              ; ].
                                                                                                              2 2
     ��� ������������ ���������� ���� �� ������ ��������� ����������
��������� ������� ��������� �� ����� ������, ��� ��� � ���� ������
                                                         u n �1
������ ����� ��������                            lim                  = 1. � ���� ������ �������������
                                                 n ��     un
������������� ������ �������� ����������.
      ������� 4. ��� ��������� � ��� ����������. ������� ��������
��������������, �������� ��������.
      ���� ������� f(x) ���������� � n ��� ���������������� �
����������� ����� � = 0, �� ��� ����� ���� ������������ � ���� �����
���������� ����, �. �. ����� ���� ��������� � ��������� ��� ����:


                                                                      43