Математические уравнения в геофизике. Груздев В.Н. - 41 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

41
ɛ) ɬɚɤ ɤɚɤ
n
n
n
u
u
1
lim
fo
= )
!3
:
)1(
)!1(3
(lim
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
fo
=
!3)1()1(
)1(!33
lim
nnn
nnn
nn
nn
n
fo
=
= 3
n
n
n
n
)
1
(lim
fo
=
1
3
)
1
1(lim
3
!
fo
e
n
n
n
, ɬɨ ɩɨ ɩɪɢɡɧɚɤɭ Ⱦɚɥɚɦɛɟɪɚ ɪɹɞ
ɪɚɫɯɨɞɢɬɫɹ.
ɂɧɬɟɝɪɚɥɶɧɵɣ ɩɪɢɡɧɚɤ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɢ. ɉɭɫɬɶ ɞɚɧ ɪɹɞ
¦
f
1n
n
u , ɱɥɟɧɵ ɤɨɬɨɪɨɝɨ
ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɵɟ ɢ ɧɟ ɜɨɡɪɚɫɬɚɸɬ, ɬ. ɟ. u
1
t u
2
t . . . t u
n
t . . ., ɚ ɮɭɧɤɰɢɹ f(x),
ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɚɹ ɩɪɢ ɯ t 1, ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɚɹ, ɧɟ ɜɨɡɪɚɫɬɚɸɳɚɹ ɢ f(1) = u
1
,
f(2) = u
2
, . . . , f(n) = u
n
. . . Ɍɨɝɞɚ ɞɥɹ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɢ ɪɹɞɚ
¦
f
1n
n
u ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɢ
ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ, ɱɬɨɛɵ ɫɯɨɞɢɥɫɹ ɧɟɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɣ ɢɧɬɟɝɪɚɥ
dxxf )(
1
³
f
.
ɉɪɢɦɟɪ 4. ɂɫɫɥɟɞɨɜɚɬɶ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɶ ɨɛɨɛɳɟɧɧɨɝɨ ɝɚɪɦɨɧɢɱɟɫɤɨɝɨ
ɪɹɞɚ
¦
f
1
1
n
n
D
.
ɉɭɫɬɶ f(x) =
D
x
1
. Ɏɭɧɤɰɢɹ f(x) ɩɪɢ ɯ t 1 ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɚɹ ɢ ɧɟ
ɜɨɡɪɚɫɬɚɸɳɚɹ. ɉɨɷɬɨɦɭ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɶ ɪɹɞɚ ɪɚɜɧɨɫɢɥɶɧɚ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɢ
ɧɟɫɨɛɫɬɜɟɧɧɨɝɨ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ
³
f
1
D
x
dx
. ɂɦɟɟɦ
³
f
1
D
x
dx
=
fob
lim
³
b
x
dx
1
D
. ȿɫɥɢ D = 1, ɬɨ
fob
lim
³
b
x
dx
1
D
=
fob
lim (ln_x_)
b
1
=
fob
lim ( ln_b_ – ln1) = v. ȿɫɥɢ D > 1, ɬɨ
fob
lim
³
b
x
dx
1
D
=
=
fob
lim
b
x
1
1
)
1
(
D
D
=
D
1
1
fob
lim (b
1-D
1) =
1
1
D
. ɂɬɚɤ, ɞɚɧɧɵɣ ɪɹɞ ɫɯɨɞɢɬɫɹ ɩɪɢ D
> 1 ɢ ɪɚɫɯɨɞɢɬɫɹ ɩɪɢ Dd 1.
Ɂɚɞɚɧɢɟ 2. ɂɫɫɥɟɞɨɜɚɧɢɟ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɢ ɡɧɚɤɨɱɟɪɟɞɭɸɳɢɯɫɹ ɪɹɞɨɜ.
Ɂɚɞɚɧɢɟ ɜɵɞɚɟɬɫɹ ɩɪɟɩɨɞɚɜɚɬɟɥɟɦ ɫɨɝɥɚɫɧɨ ɜɚɪɢɚɧɬɭ.
ɉɨɞ ɡɧɚɤɨɱɟɪɟɞɭɸɳɢɦɫɹ ɪɹɞɨɦ ɩɨɧɢɦɚɟɬɫɹ ɪɹɞ, ɜ ɤɨɬɨɪɨɦ ɱɥɟɧɵ
ɩɨɩɟɪɟɦɟɧɧɨ ɬɨ ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɵɟ, ɬɨ ɨɬɪɢɰɚɬɟɥɶɧɵɟ.
Ɍɟɨɪɟɦɚ Ʌɟɣɛɧɢɰ (ɉɪɢɡɧɚɤ Ʌɟɣɛɧɢɰɚ). ȿɫɥɢ ɱɥɟɧɵ
ɡɧɚɤɨɱɟɪɟɞɭɸɳɟɝɨɫɹ ɪɹɞɚ ɭɛɵɜɚɸɬ ɩɨ ɚɛɫɨɥɸɬɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɟ, ɬ. ɟ
.
u
1
> u
2
> . . . > u
n
> . . ., ɢ ɩɪɟɞɟɥ ɟɝɨ ɨɛɳɟɝɨ ɱɥɟɧɚ ɩɪɢ n ofɪɚɜɟɧ ɧɭɥɸ,
ɬ. ɟ.
fon
lim u
n
= 0, ɬɨ ɪɹɞ ɫɯɨɞɢɬɫɹ, ɚ ɟɝɨ ɫɭɦɦɚ ɧɟ ɩɪɟɜɨɫɯɨɞɢɬ ɩɟɪɜɨɝɨ
ɱɥɟɧɚ, ɬ. ɟ. S d u
1
.
ɉɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ ɩɪɢ ɩɪɢɛɥɢɠɟɧɧɨɦ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɢ ɫɭɦɦɵ ɫɯɨɞɹɳɟɝɨɫɹ
ɡɧɚɤɨɱɟɪɟɞɭɸɳɟɝɨɫɹ ɪɹɞɚ, ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɳɟɝɨ ɭɫɥɨɜɢɹɦ ɬɟɨɪɟɦɵ
Ʌɟɣɛɧɢɰɚ, ɩɨ ɚɛɫɨɥɸɬɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɟ ɧɟ ɩɪɟɜɨɫɯɨɞɢɬ ɚɛɫɨɥɸɬɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ
ɩɟɪɜɨɝɨ ɨɬɛɪɨɲɟɧɧɨɝɨ ɱɥɟɧɚ ɪɹɞɚ.
                                        un �1          3n �1 (n � 1)! 3n n!           3n � 3n!(n � 1)n n
            �) ��� ���              lim        = lim (               : n ) = lim                              =
                                    n �� un      n � � ( n � 1) n �1   n     n � � ( n � 1) n ( n � 1)3n � n!

                           n n              3       3
= 3 � lim (                   ) =                � � 1 , �� �� �������� ��������� ���
                  n ��   n �1                 1 n e
                                      lim (1 � )
                                      n��     n
����������.
                                                                                 �
������������ ������� ����������. ����� ��� ���                                   �u
                                                                                 n �1
                                                                                         n   , ����� ��������
������������� � �� ����������, �. �. u1 � u2 � . . . � un � . . ., � ������� f(x),
������������ ��� � � 1, �����������, �� ������������ � f(1) = u1,
                                                                                        �
f(2) = u2, . . . , f(n) = un . . . ����� ��� ���������� ����                            �u
                                                                                        n �1
                                                                                               n   ���������� �
                                                                                  �
����������, ����� �������� ������������� ��������                                 �     f ( x)dx .
                                                                                  1

            ������ 4. ����������� ���������� ����������� ��������������
            �
                  1
����       � n� .
           n �1
                                    1
            ����� f(x) =               . ������� f(x) ��� � � 1 ������������� � ��
                                    x�
������������.                 �������             ����������      ����    �����������                ����������
                                                  �               �              b
                                                     dx              dx           dx
�������������� ���������                          �1 x� . �����   �1 x� = blim       . ���� � = 1, ��
                                                                            � � � x�
                                                                                1
       b                                                                                                     b
           dx                                                                                                    dx
lim    � x�       = lim (ln�x�) 1b = lim ( ln�b� – ln1) = �. ���� � > 1, �� lim �                                   =
b ��
       1
                      b ��                 b ��                                                       b ��
                                                                                                             1
                                                                                                                 x�
              x �� �1 b     1         1-�      1
= lim (              )1 =       lim (b – 1) =      . ����, ������ ��� �������� ��� �
  b ��       �� �1        1 � � b ��          � �1
> 1 � ���������� ��� � � 1.
       ������� 2. ������������ ���������� ����������������� �����.
������� �������� �������������� �������� ��������.
       ��� ����������������� ����� ���������� ���, � ������� �����
����������� �� �������������, �� �������������.
       �������        �������        (�������    ��������).    ����     �����
������������������ ���� ������� �� ���������� ��������, �. �.
u1 > u2 > . . . > un > . . ., � ������ ��� ������ ����� ��� n � � ����� ����,
�. �. lim un = 0, �� ��� ��������, � ��� ����� �� ����������� �������
           n ��

�����, �. �. S � u1.
      ����������� ��� ������������ ���������� ����� �����������
������������������ ����, ���������������� �������� �������
��������, �� ���������� �������� �� ����������� ���������� ��������
������� ������������ ����� ����.

                                                          41