Математические уравнения в геофизике. Груздев В.Н. - 40 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

40
3. ɨɛɨɛɳɟɧɧɵɣ ɝɚɪɦɨɧɢɱɟɫɤɢɣ ɪɹɞ
¦
f
1
1
n
n
D
ɫɯɨɞɢɬɫɹ ɩɪɢ D > 1, ɪɚɫɯɨɞɢɬɫɹ
ɩɪɢ Dd 1.
ɉɪɢɦɟɪ 1. ɂɫɫɥɟɞɨɜɚɬɶ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɶ ɪɹɞɚ
¦
f
1
1
3
1
n
n
n
.
ɋɪɚɜɧɢɦ ɞɚɧɧɵɣ ɪɹɞ ɫɨ ɫɯɨɞɹɳɢɦɫɹ ɝɟɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɢɦ ɪɹɞɨɦ
¦
f
1
1
3
1
n
n
,
ɟɝɨ q =
3
1
< 1. Ɍɚɤ ɤɚɤ ɱɥɟɧɵ ɢɫɯɨɞɧɨɝɨ ɪɹɞɚ, ɧɚɱɢɧɚɹ ɫɨ ɜɬɨɪɨɝɨ, ɦɟɧɶɲɟ
ɱɥɟɧɨɜ ɫɯɨɞɹɳɟɝɨɫɹ ɝɟɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɨɝɨ ɪɹɞɚ, ɬ. ɟ.
3
1
6
1
,
9
1
27
1
, . . . ,
11
3
1
3
1
nn
n
, ɬɨ ɧɚ ɨɫɧɨɜɚɧɢɢ ɩɪɢɡɧɚɤɚ ɫɪɚɜɧɟɧɢɹ ɢɫɯɨɞɧɵɣ ɪɹɞ ɫɯɨɞɢɬɫɹ.
ɉɪɟɞɟɥɶɧɵɣ ɩɪɢɡɧɚɤ ɫɪɚɜɧɟɧɢɹ. ɉɭɫɬɶ ɞɚɧɵ ɞɜɚ ɪɹɞɚ ɫ ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɵɦɢ
ɱɥɟɧɚɦɢ:
¦
f
1n
n
u = u
1
+ u
2
+ u
3
+ . . . ɢ
¦
f
1n
n
v = v
1
+ v
2
+ v
3
+ . . .
ȿɫɥɢ ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɤɨɧɟɱɧɵɣ ɢ ɨɬɥɢɱɧɵɣ ɨɬ ɧɭɥɹ ɩɪɟɞɟɥ lim(
n
n
v
u
) = k,
ɬɨ ɨɛɚ ɪɹɞɚ ɨɞɧɨɜɪɟɦɟɧɧɨ ɫɯɨɞɹɬɫɹ ɢɥɢ ɨɞɧɨɜɪɟɦɟɧɧɨ ɪɚɫɯɨɞɹɬɫɹ.
ɉɪɢɦɟɪ 2. ɂɫɫɥɟɞɨɜɚɬɶ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɶ ɪɹɞɚ:
¦
f
1
3
2
52
n
n
n
.
ɋɪɚɜɧɢɦ ɞɚɧɧɵɣ ɪɹɞ ɫ ɪɚɫɯɨɞɹɳɢɦɫɹ ɝɚɪɦɨɧɢɱɟɫɤɢɦ ɪɹɞɨɦ
¦
f
1
1
n
n
.
Ɍɚɤ ɤɚɤ
)
1
:
52
(limlim
3
2
nn
n
v
u
n
n
n
n
fofo
= 2 z 0, ɬɨ ɢɫɯɨɞɧɵɣ ɪɹɞ, ɬɚɤ ɠɟ ɤɚɤ ɢ
ɝɚɪɦɨɧɢɱɟɫɤɢɣ ɪɹɞ, ɪɚɫɯɨɞɢɬɫɹ.
ɉɪɢɡɧɚɤ Ⱦɚɥɚɦɛɟɪɚ. ɉɭɫɬɶ ɞɥɹ ɪɹɞɚ
¦
f
1n
n
u ɫ ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɵɦɢ ɱɥɟɧɚɦɢ
ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɩɪɟɞɟɥ ɨɬɧɨɲɟɧɢɹ (n + 1)-ɝɨ ɱɥɟɧɚ ɤ n-ɱɥɟɧɭ, ɬ. ɟ.
n
n
n
u
u
1
lim
fo
= k,
ɬɨ ɪɹɞ ɫɯɨɞɢɬɫɹ, ɟɫɥɢ k < 1, ɢ ɪɹɞ ɪɚɫɯɨɞɢɬɫɹ, ɟɫɥɢ k > 1, ɟɫɥɢ ɠɟ k = 1, ɬɨ
ɜɨɩɪɨɫ ɨ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɢ ɪɹɞɚ ɨɫɬɚɟɬɫɹ ɧɟɪɟɲɟɧɧɵɦ.
ɉɪɢɦɟɪ 3. ɂɫɫɥɟɞɨɜɚɬɶ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɶ ɪɹɞɨɜ: ɚ)
¦
f
1
2
n
n
n
, ɛ)
¦
f
1
!3
n
n
n
n
n
.
ɚ) ɬɚɤ ɤɚɤ
n
n
n
u
u
1
lim
fo
= )
2
:
2
1
(lim
1 nn
n
nn
fo
=
n
n
n
2
1
lim
fo
=
2
1
< 1, ɬɨ ɩɨ ɩɪɢɡɧɚɤɭ
Ⱦɚɥɚɦɛɟɪɚ ɢɫɯɨɞɧɵɣ ɪɹɞ ɫɯɨɞɢɬɫɹ;
                                                    �
                                                          1
3. ���������� ������������� ���                    � n�
                                                   n �1
                                                                – �������� ��� � > 1, ����������
   ��� � � 1.
                                                                          �
                                                                                 1
      ������ 1. ����������� ���������� ����                               � n�3
                                                                          n �1
                                                                                     n �1
                                                                                            .
                                                                                                                     �
                                                                                                                                1
      ������� ������ ��� �� ���������� �������������� �����                                                          �3
                                                                                                                     n �1
                                                                                                                                n �1
                                                                                                                                       ,
           1
��� q =      < 1. ��� ��� ����� ��������� ����, ������� �� �������, ������
           3
                                                        1 1    1 1
������ ����������� ��������������� ����, �. �.           � ,     � , . . . ,
                                                        6 3   27 9
    1       1
         �      , �� �� ��������� �������� ��������� �������� ��� ��������.
n � 3n �1 3n �1
���������� ������� ���������. ����� ���� ��� ���� � ��������������
            �                                      �
�������:   �u
           n �1
                  n   = u1 + u 2 + u 3 + . . . �   �v
                                                   n �1
                                                          n   = v 1 + v2 + v 3 + . . .
                                                                                                                 un
      ���� ���������� �������� � �������� �� ���� ������ lim(                                                       ) = k,
                                                                                                                 vn
�� ��� ���� ������������ �������� ��� ������������ ����������.
                                                                            �
                                                                                2n 2 � 5
     ������ 2. ����������� ���������� ����:                               �n �1   n3
                                                                                         .
                                                                                                                            �
                                                                                                                                 1
      ������� ������ ��� � ������������ ������������� �����                                                              �n .
                                                                                                                         n �1

             u       2n 2 � 5 1
��� ��� lim n � lim ( 3 : ) = 2 � 0, �� �������� ���, ��� �� ��� �
        n �� v  n ��   n      n
              n

������������� ���, ����������.
                                                               �
������� ���������. ����� ��� ����                             �u
                                                              n �1
                                                                     n   � �������������� �������
                                                                                                                 un �1
���������� ������ ��������� (n + 1)-�� ����� � n-�����, �. �. nlim                                                     = k,
                                                                ��                                                un
�� ��� ��������, ���� k < 1, � ��� ����������, ���� k > 1, ���� �� k = 1, ��
������ � ���������� ���� �������� ����������.
                                                                                  �
                                                                                            n          �
                                                                                                           3n n!
      ������ 3. ����������� ���������� �����: �)                                 �2
                                                                                  n �1
                                                                                            n
                                                                                                , �)   �
                                                                                                       n �1 n
                                                                                                              n
                                                                                                                 .
                     u           n �1 n             n �1   1
      �) ��� ��� lim n �1 = lim ( n �1 : n ) = lim       =   < 1, �� �� ��������
                 n �� u     n�� 2       2      n � � 2n    2
                        n

��������� �������� ��� ��������;




                                                   40