Математические уравнения в геофизике. Груздев В.Н. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

38
Ɍɨɝɞɚ ɢɫɤɨɦɨɟ ɱɚɫɬɧɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɧɟɨɞɧɨɪɨɞɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɛɭɞɟɬ ɢɦɟɬɶ
ɜɢɞ:
y
~
= ɯ(–1 – ɯ).
Ⱥ ɨɛɳɟɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɢɫɯɨɞɧɨɝɨ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɛɭɞɟɬ
ɢɦɟɬɶ ɜɢɞ: ɭ = C
1
+ C
2
e
3x
+ ɯ(–1 – ɯ).
ɉɪɢɦɟɪ 12. ɇɚɣɬɢ ɨɛɳɟɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ:
y
//
– 3y
/
+ 2ɭ = 2ɟ
3ɯ
.
Ɉɛɳɟɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɧɟɨɞɧɨɪɨɞɧɨɝɨ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ
ɛɭɞɟɦ ɢɫɤɚɬɶ ɜ ɜɢɞɟ: ɭ =
yy
~
.
ɇɚɣɞɟɦ ɨɛɳɟɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɨɞɧɨɪɨɞɧɨɝɨ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ:
y
//
– 3y
/
+ 2ɭ = 0. ɋɨɫɬɚɜɢɦ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɱɟɫɤɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ: O
2
– 3O + 2 = 0.
ɇɚɣɞɟɦ ɤɨɪɧɢ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ: O
1
= 1, O
2
= 2. Ɍɚɤ ɤɚɤ
ɤɨɪɧɢ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɞɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɵɟ ɢ ɪɚɡɧɵɟ ɱɢɫɥɚ, ɬɨ
ɨɛɳɟɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɨɞɧɨɪɨɞɧɨɝɨ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ:
y
= C
1
e
x
+ C
2
e
2x
.
ɂɫɯɨɞɹ ɢɡ ɩɪɚɜɨɣ ɱɚɫɬɢ ɢɫɯɨɞɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ, ɡɚɩɢɲɟɦ ɩɨɥɧɵɣ ɜɢɞ
ɩɪɚɜɨɣ ɱɚɫɬɢ: 2ɟ
3ɯ
, ɝɞɟ O = 3 ɧɟ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɤɨɪɧɟɦ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɱɟɫɤɨɝɨ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ, Ɋ
0
(ɯ) = 2 – ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ ɧɭɥɟɜɨɣ ɫɬɟɩɟɧɢ. Ɍɨɝɞɚ ɱɚɫɬɧɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟ
ɧɟɨɞɧɨɪɨɞɧɨɝɨ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɛɭɞɟɬ ɢɦɟɬɶ ɜɢɞ:
y
~
= Ⱥɟ
3ɯ
.
ɇɚɣɞɟɦ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ Ⱥ.
/
~
y
= 3Ⱥɟ
3ɯ
.
//
~
y
= 9Ⱥɟ
3ɯ
. ɉɨɞɫɬɚɜɢɦ
ɡɧɚɱɟɧɢɹ
/
~
y
ɢ
//
~
y
ɜ ɢɫɯɨɞɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ, ɩɨɥɭɱɢɦ: 9Ⱥɟ
3ɯ
– 9Ⱥɟ
3ɯ
+ 2Ⱥɟ
3ɯ
=
= 2ɟ
3ɯ
, ɨɬɫɸɞɚ ɫɥɟɞɭɟɬ: 2Ⱥ = 2, ɢɥɢ Ⱥ = 1. ɂɫɤɨɦɨɟ ɱɚɫɬɧɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟ
ɧɟɨɞɧɨɪɨɞɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɛɭɞɟɬ ɢɦɟɬɶ ɜɢɞ:
y
~
= ɟ
3ɯ
. Ɍɨɝɞɚ ɨɛɳɟɟ ɪɟɲɟɧɢɟ
ɧɟɨɞɧɨɪɨɞɧɨɝɨ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɛɭɞɟɬ ɢɦɟɬɶ ɜɢɞ: ɭ = C
1
e
x
+
+ C
2
e
2x
+ ɟ
3ɯ
.
ɉɪɢɦɟɪ 13. ɇɚɣɬɢ ɨɛɳɟɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ:
y
//
– 2y
/
+ 5ɭ = sin2x.
Ɉɛɳɟɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɧɟɨɞɧɨɪɨɞɧɨɝɨ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ
ɛɭɞɟɦ ɢɫɤɚɬɶ ɜ ɜɢɞɟ: ɭ =
yy
~
.
ɇɚɣɞɟɦ ɨɛɳɟɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɨɞɧɨɪɨɞɧɨɝɨ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ:
y
//
– 2y
/
+ 5ɭ = 0.
ɋɨɫɬɚɜɢɦ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɱɟɫɤɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ: O
2
– 2O + 5 = 0. ɇɚɣɞɟɦ
ɤɨɪɧɢ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ: O
1
= 1 + 2i, O
2
= 1 – 2i, D = 1, E = 2.
Ɍɚɤ ɤɚɤ ɤɨɪɧɢ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɤɨɦɩɥɟɤɫɧɵɟ ɢ
ɫɨɩɪɹɠɟɧɧɵɟ ɱɢɫɥɚ, ɬɨ ɨɛɳɟɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɨɞɧɨɪɨɞɧɨɝɨ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ:
y
= e
x
(ɋ
1
ɫos2x + C
2
sin2x).
ɂɫɯɨɞɹ ɢɡ ɩɪɚɜɨɣ ɱɚɫɬɢ ɢɫɯɨɞɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ sin2x, ɡɚɩɢɲɟɦ ɩɨɥɧɵɣ
ɜɢɞ ɩɪɚɜɨɣ ɱɚɫɬɢ: ɟ
0ɯ
(0 cos2x + 1 sin2x), ɝɞɟ O = 0 + 2i – ɧɟ ɹɜɥɹɟɬɫɹ
ɤɨɪɧɟɦ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ, Ɋ
0
(ɯ) = 0, Q
0
(x) = 1 – ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɵ
ɧɭɥɟɜɨɣ ɫɬɟɩɟɧɢ.
Ɍɨɝɞɚ ɱɚɫɬɧɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɧɟɨɞɧɨɪɨɞɧɨɝɨ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɛɭɞɟɬ ɢɦɟɬɶ ɜɢɞ:
y
~
= ɟ
0ɯ
(Acos2x + Bsin2x) = Acos2x + Bsin2x. 
����� ������� ������� ������� ������������� ��������� ����� �����
���: ~y = �(–1 – �).
        � ����� ������� ��������� ����������������� ��������� �����
����� ���: � = C1 + C2e3x + �(–1 – �).
        ������ 12. ����� ����� ������� ����������������� ���������:
y// – 3y/ + 2� = 2�3�.
        ����� ������� ������������� ����������������� ���������
����� ������ � ����: � = y � ~y .
        ������ ����� ������� ����������� ����������������� ���������:
y// – 3y/ + 2� = 0. �������� ������������������ ���������: �2 – 3� + 2 = 0.
������ ����� ������������������� ���������: �1 = 1, �2 = 2. ��� ���
����� ������������������� ��������� �������������� � ������ �����, ��
����� ������� ����������� ����������������� ��������� ����� ���:
          x      2x
 y = C1e + C2e .
        ������ �� ������ ����� ��������� ���������, ������� ������ ���
������ �����: 2�3�, ��� � = 3 �� �������� ������ �������������������
���������, �0(�) = 2 – ��������� ������� �������. ����� ������� �������
������������� ����������������� ��������� ����� ����� ���: ~y = ��3�.
        ������ �������� ��������� �. ~y / = 3��3�. ~y // = 9��3�. ���������
�������� ~y / � ~y // � �������� ���������, �������: 9��3� – 9��3� + 2��3� =
= 2�3�, ������ �������: 2� = 2, ��� � = 1. ������� ������� �������
������������� ��������� ����� ����� ���: ~y = �3�. ����� ����� �������
������������� ����������������� ��������� ����� ����� ���: � = C1ex +
+ C2e2x + �3�.
        ������ 13. ����� ����� ������� ����������������� ���������:
 y// – 2y/ + 5� = sin2x.
        ����� ������� ������������� ����������������� ���������
����� ������ � ����: � = y � ~y .
        ������ ����� ������� ����������� ����������������� ���������:
y// – 2y/ + 5� = 0.
        �������� ������������������ ���������: �2 – 2� + 5 = 0. ������
����� ������������������� ���������: �1 = 1 + 2i, �2 = 1 – 2i, � = 1, � = 2.
��� ��� ����� ������������������� ��������� ����������� �
����������� �����, �� ����� ������� ����������� �����������������
��������� ����� ���: y = ex(�1�os2x + C2sin2x).
        ������ �� ������ ����� ��������� ��������� sin2x, ������� ������
��� ������ �����: �0�(0 � cos2x + 1 � sin2x), ��� � = 0 + 2i – �� ��������
������ ������������������� ���������, �0(�) = 0, Q0(x) = 1 – ����������
������� �������.
        ����� ������� ������� ������������� �����������������
��������� ����� ����� ���: ~y = �0�(Acos2x + Bsin2x) = Acos2x + Bsin2x.

                                    38

Страницы