Математические уравнения в геофизике. Груздев В.Н. - 36 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

36
ɢ O
2
=
2
22
2
842 i
= 1 + i. Ɍɚɤ ɤɚɤ ɤɨɪɧɢ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɱɟɫɤɨɝɨ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɤɨɦɩɥɟɤɫɧɵɟ, ɫɨɩɪɹɠɟɧɧɵɟ ɱɢɫɥɚ, ɩɪɢ ɱɟɦ D = 1 ɢ E = 1, ɬɨ
ɨɛɳɟɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɨɞɧɨɪɨɞɧɨɝɨ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ: y =
e
x
(ɋ
1
sinx + C
2
cosx).
Ɂɚɞɚɧɢɟ 4. Ɋɟɲɟɧɢɟ ɥɢɧɟɣɧɵɯ ɨɞɧɨɪɨɞɧɵɯ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɵɯ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɜɬɨɪɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ ɫ ɩɨɫɬɨɹɧɧɵɦɢ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚɦɢ, ɬ. ɟ.
ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɜɢɞɚ: ɭ
//
+ py
/
+qy = f(x). Ɂɚɞɚɧɢɟ ɜɵɞɚɟɬɫɹ ɩɪɟɩɨɞɚɜɚɬɟɥɟɦ
ɫɨɝɥɚɫɧɨ ɜɚɪɢɚɧɬɭ.
Ⱦɚɧɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɦɨɠɧɨ ɪɟɲɢɬɶ ɦɟɬɨɞɨɦ ɜɚɪɢɚɰɢɢ ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɵɯ
ɩɨɫɬɨɹɧɧɵɯ. ȼɧɚɱɚɥɟ ɧɚɯɨɞɢɬɫɹ ɨɛɳɟɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɨɞɧɨɪɨɞɧɨɝɨ
ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɭ
//
+ py
/
+qy = 0 ɜ ɜɢɞɟ: ɭ = ɋ
1
ɭ
1
+ ɋ
2
ɭ
2
.
Ɂɚɬɟɦ ɪɟɲɟɧɢɟ ɧɟɨɞɧɨɪɨɞɧɨɝɨ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɧɚɯɨɞɹɬ ɜ
ɜɢɞɟ: ɭ = ɋ
1
(ɯ)ɭ
1
+ ɋ
2
(ɯ)ɭ
2
, ɬ. ɟ. ɩɪɟɞɩɨɥɚɝɚɟɬɫɹ, ɱɬɨ ɩɨɫɬɨɹɧɧɵɟ ɋ
1
ɢɋ
2
ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɮɭɧɤɰɢɹɦɢ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ ɯ. ɉɪɢ ɷɬɨɦ ɋ
1
(ɯ) ɢɋ
2
(ɯ) ɦɨɝɭɬ ɛɵɬɶ
ɧɚɣɞɟɧɵ ɤɚɤ ɪɟɲɟɧɢɹ ɫɢɫɬɟɦɵ:
°
¯
°
®
).()()(
,0)()(
/
2
/
2
/
1
/
1
2
/
21
/
1
xfyxCyxC
yxCyxC
ɇɚɢɛɨɥɟɟ ɪɚɫɩɪɨɫɬɪɚɧɟɧ ɞɪɭɝɨɣ ɩɨɞɯɨɞ ɩɪɢ ɪɟɲɟɧɢɢ ɧɟɨɞɧɨɪɨɞɧɨɝɨ
ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɜɬɨɪɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ ɫ ɩɨɫɬɨɹɧɧɵɦɢ
ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚɦɢ. ȼɧɚɱɚɥɟ ɧɚɯɨɞɹɬ ɨɛɳɟɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɨɞɧɨɪɨɞɧɨɝɨ
ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ (
y
), ɚ ɡɚɬɟɦ ɩɨ ɜɢɞɭ ɩɪɚɜɨɣ ɱɚɫɬɢ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ, ɧɚɯɨɞɹɬ ɱɚɫɬɧɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɧɟɨɞɧɨɪɨɞɧɨɝɨ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ (
y
~
).
Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɩɨɪɹɞɨɤ ɡɚɩɢɫɢ ɱɚɫɬɧɨɝɨ ɪɟɲɟɧɢɹ (
y
~
) ɩɨ ɜɢɞɭ ɩɪɚɜɨɣ
ɱɚɫɬɢ ɢɫɯɨɞɧɨɝɨ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ.
ȿɫɥɢ ɩɪɚɜɚɹ ɱɚɫɬɶ ɧɟɨɞɧɨɪɨɞɧɨɝɨ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ
ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ: ɟ
Dɯ
Ɋ(ɯ), ɝɞɟ Ɋ(ɯ) – ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ n-ɨɣ ɫɬɟɩɟɧɢ ɢ D ɧɟ ɹɜɥɹɟɬɫɹ
ɤɨɪɧɟɦ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɨɞɧɨɪɨɞɧɨɝɨ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ, ɬɨ ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɱɚɫɬɧɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɜɢɞɚ:
y
~
= ɟ
Dɯ
Ɇ(ɯ), ɝɞɟ Ɇ(ɯ) =
= Ⱥ
0
+ Ⱥ
1
ɯ + Ⱥ
2
ɯ
2
+ . . . + Ⱥ
n
x
n
. ȿɫɥɢ D ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɤɨɪɧɟɦ
ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɤɪɚɬɧɨɫɬɢ ɤ (ɤ = 1 ɢɥɢ ɤ = 2), ɬɨ
ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɱɚɫɬɧɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɜɢɞɚ:
y
~
= ɯ
ɤ
ɟ
Dɯ
Ɇ(ɯ).
ȿɫɥɢ ɩɪɚɜɚɹ ɱɚɫɬɶ ɥɢɧɟɣɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɫ ɩɨɫɬɨɹɧɧɵɦɢ
ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚɦɢ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɨ ɜ ɜɢɞɟ: ɟ
Dɯ
(Ɋ
n
(ɯ)cosEx +
+ P
m
(x)sinEx), ɝɞɟ Ɋ
n
(ɯ) ɢɊ
m
(ɯ) – ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɵ ɫɬɟɩɟɧɢ n ɢ m
ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨ ɢ z = D + iE ɧɟ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɤɨɪɧɟɦ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɱɟɫɤɨɝɨ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ, ɬɨ ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɱɚɫɬɧɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɜɢɞɚ:
y
~
= ɟ
Dɯ
(M
k
(ɯ)cosEx +
N
k
(x)sinEx), ɝɞɟ M
k
(x) = Ⱥ
0
+ Ⱥ
1
ɯ + Ⱥ
2
ɯ
2
+ . . . + Ⱥ
k
x
k
, N
k
(x) = B
0
+ B
1
ɯ + B
2
ɯ
2
+ . . . + B
k
x
k
, k = max(n, m). ȿɫɥɢ ɠɟ z = D + iE ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɤɨɪɧɟɦ
ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ, ɬɨ ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɱɚɫɬɧɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɜɢɞɚ:
y
~
= ɯɟ
Dɯ
(M
k
(ɯ)cosEx + N
k
(x)sinEx).
          2 � 4 � 8 2 � 2i
� �2 =             �       = 1 + i. ��� ��� ����� �������������������
              2       2
��������� �����������, ����������� �����, ��� ��� � = 1 � � = 1, ��
����� ������� ����������� ����������������� ��������� ����� ���: y =
ex(�1sinx + C2cosx).
      ������� 4. ������� �������� ���������� ����������������
��������� ������� ������� � ����������� ��������������, �. �.
��������� ����: �// + py/ +qy = f(x). ������� �������� ��������������
�������� ��������.
      ������ ��������� ����� ������ ������� �������� ������������
����������. ������� ��������� ����� ������� �����������
����������������� ��������� �// + py/ +qy = 0 � ����: � = �1�1 + �2�2.
����� ������� ������������� ����������������� ��������� ������� �
����: � = �1(�)�1 + �2(�)�2, �. �. ��������������, ��� ���������� �1 � �2
�������� ��������� ���������� �. ��� ���� �1(�) � �2(�) ����� ����
                                  ��C1/ ( x) y1 � C2/ ( x) y2 � 0,
������� ��� ������� �������: �
                                   ��C1 ( x) y1 � C2 ( x) y2 � f ( x).
                                       /      /     /       /


      �������� ������������� ������ ������ ��� ������� �������������
����������������� ��������� ������� ������� � �����������
��������������. ������� ������� ����� ������� �����������
����������������� ��������� ( y ), � ����� �� ���� ������ �����
���������, ������� ������� ������� ������������� �����������������
��������� ( ~y ).
    ���������� ������� ������ �������� ������� ( ~y ) �� ���� ������
����� ��������� ����������������� ���������.
      ���� ������ ����� ������������� ����������������� ���������
����� ���: ����(�), ��� �(�) – ��������� n-�� ������� � � �� ��������
������ ������������������� ��������� ����������� �����������������
���������, �� ���������� ������� ������� ����: ~y = ����(�), ��� �(�) =
= �0 + �1� + �2�2 + . . . + �nxn. ���� � �������� ������
������������������� ��������� ��������� � (� = 1 ��� � = 2), ��
���������� ������� ������� ����: ~y = ������(�).
      ���� ������ ����� ��������� ��������� � �����������
�������������� ����� ���� ������������ � ����: ���(�n(�)cos�x +
 + Pm(x)sin�x), ��� �n(�) � �m(�) – ���������� ������� n � m
�������������� � z = � + i� �� �������� ������ �������������������
���������, �� ���������� ������� ������� ����: ~y = ���(Mk(�)cos�x +
Nk(x)sin�x), ��� Mk(x) = �0 + �1� + �2�2 + . . . + �kxk, Nk(x) = B0 + B1� + B2�2
+ . . . + Bkxk, k = max(n, m). ���� �� z = � + i� �������� ������
������������������� ���������, �� ���������� ������� ������� ����:
~      ��
y = �� (Mk(�)cos�x + Nk(x)sin�x).
                                         36