Математические уравнения в геофизике. Груздев В.Н. - 34 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

34
(u
/
v –
x
2
uv) + uv
/
= 2x
3
. Ɉɬɤɭɞɚ (u
/
x
2
u)v + uv
/
= 2x
3
. ɉɨɥɨɠɢɦ u
/
x
2
u =
0, ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ,
u
du
=
x
dx2
, ɨɬɤɭɞɚ, ɩɪɨɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɜ ɞɚɧɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ,
ɩɨɥɭɱɢɦ ɱɚɫɬɧɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ, ɬ. ɟ. ln_u_ = 2ln_x_. Ɉɬɤɭɞɚ u = x
2
.
ɉɨɞɫɬɚɜɢɦ ɡɧɚɱɟɧɢɟ u ɜ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ (u
/
v –
x
2
uv) + uv
/
= 2x
3
, ɩɨɥɭɱɢɦ
v
/
x
2
= 2x
3
, ɢɥɢ v
/
= 2x. Ɋɟɲɚɹ ɞɚɧɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɫ ɪɚɡɞɟɥɹɸɳɢɦɢɫɹ
ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɦɢ, ɩɨɥɭɱɚɟɦ u = x
2
+ C. Ɍɨɝɞɚ ɨɤɨɧɱɚɬɟɥɶɧɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɛɭɞɟɬ
ɢɦɟɬɶ ɜɢɞ y = uv = (x
2
+ C)x
2
= x
4
+ Cx
2
.
Ɂɚɞɚɧɢɟ 2. Ɋɟɲɟɧɢɟ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɵɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɜɬɨɪɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ,
ɞɨɩɭɫɤɚɸɳɢɟ ɩɨɧɢɠɟɧɢɹ ɩɨɪɹɞɤɚ. Ɂɚɞɚɧɢɟ ɜɵɞɚɟɬɫɹ ɩɪɟɩɨɞɚɜɚɬɟɥɟɦ ɜ
ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɢ ɫ ɜɚɪɢɚɧɬɨɦ.
Ⱦɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɜɬɨɪɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ, ɞɨɩɭɫɤɚɸɳɟɟ
ɩɨɧɢɠɟɧɢɟ ɩɨɪɹɞɤɚ, ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɫɜɟɞɟɧɨ ɤ ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨɦɭ ɪɟɲɟɧɢɸ
ɞɜɭɯ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɵɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɩɟɪɜɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ. ȿɫɥɢ
ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ y
//
= f(x), ɬɨ ɨɧɨ ɪɟɲɚɟɬɫɹ
ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɵɦ ɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɟɦ. ȿɫɥɢ ɜ ɡɚɩɢɫɶ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɧɟ ɜɯɨɞɢɬ ɢɫɤɨɦɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ ɭ, ɬ. ɟ. ɨɧɨ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ G(x,y
/
,y
//
) = 0,
ɬɨ ɬɚɤɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɪɟɲɚɟɬɫɹ ɩɭɬɟɦ ɜɜɟɞɟɧɢɹ ɜɫɩɨɦɨɝɚɬɟɥɶɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ
z = y
/
. ȿɫɥɢ ɜ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɧɟ ɜɯɨɞɢɬ ɩɟɪɟɦɟɧɧɚɹ ɯ, ɬ. ɟ. ɨɧɨ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ:
G(y,y
/
,y
//
) = 0, ɬɨ ɩɨɪɹɞɨɤ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɦɨɠɧɨ ɩɨɧɢɡɢɬɶ, ɟɫɥɢ ɡɚ ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɭɸ
ɩɟɪɟɦɟɧɧɭɸ ɜɡɹɬɶ y, ɚ ɡɚ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɭɸ ɮɭɧɤɰɢɸ ɜɡɹɬɶ z = y
/
.
ɉɪɢɦɟɪ 5. Ɋɟɲɢɬɶ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ xy
//
+ y
/
= 0.
ɉɨɥɨɠɢɦ z = y
/
, ɬɨɝɞɚ y
//
= z
/
. ɉɨɞɫɬɚɜɢɜ ɡɧɚɱɟɧɢɹ y
/
ɢ y
//
ɜ ɢɫɯɨɞɧɨɟ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ, ɩɨɥɭɱɢɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɜɢɞɚ: xz
/
+ z = 0. Ɉɬɤɭɞɚ
z
dz
= -
x
dx
.
ɂɧɬɟɝɪɢɪɭɹ ɞɚɧɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ, ɩɪɢɯɨɞɢɦ ɤ ɪɟɲɟɧɢɸ: z = C
1
/x.
ȼɨɡɜɪɚɳɚɹɫɶ ɤ ɩɟɪɜɨɧɚɱɚɥɶɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ, ɩɨɥɭɱɚɟɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ y
/
= C
1
/x ɢɥɢ
dx
dy
=
x
C
1
. ɂɧɬɟɝɪɢɪɭɹ ɞɚɧɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ, ɩɨɥɭɱɚɟɦ: y = C
1
ln_x_ + C
2
.
ɉɪɢɦɟɪ 6. Ɋɟɲɢɬɶ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ 2yy
//
= (y
/
)
2
+ 1.
ɉɨɥɨɠɢɦ z = z(y) = y
/
, ɬɨɝɞɚ y
//
=
dx
dz
=
dy
dz
dx
dy
= z
/
(y)z. ɂɫɯɨɞɧɨɟ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɩɪɢɦɟɬ ɜɢɞ: 2ɭzz
/
= z
2
+ 1. ɗɬɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɫ ɪɚɡɞɟɥɹɸɳɢɦɢɫɹ
ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɦɢ. ɉɪɟɨɛɪɚɡɭɟɦ ɟɝɨ ɤ ɜɢɞɭ:
y
dy
z
zdz
1
2
2
ɢɥɢ
y
dy
z
zd
1
)1(
2
2
.
ȼɵɩɨɥɧɹɹ ɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɟ, ɩɨɥɭɱɚɟɦ: ln(z
2
+ 1) = ln_yC_ ɢɥɢ z
2
+ 1 = yC.
Ɉɬɤɭɞɚ ɫɥɟɞɭɟɬ z = r
1yC . Ɍɚɤ ɤɚɤ z = y
/
, ɬɨ ɩɪɢɯɨɞɢɦ ɤ ɫɥɟɞɭɸɳɟɦɭ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɸ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɭ(ɯ): y
/
= r 1yC ɢɥɢ
dx
yC
dy
r
1
. ȼɵɩɨɥɧɹɹ
ɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɟ, ɩɨɥɭɱɚɟɦ r
1yC = ɋ(ɯ + ɋ
1
)/2 ɢɥɢ ɋy – 1 = C
2
(x + C
1
)
2
/4.
       2                                  2                           2
(u/v –   � uv) + uv/ = 2x3. ������ (u/ – u)v + uv/ = 2x3. ������� u/ – u =
       x                                  x                            x
                     du     2dx
0, �������������,       =       , ������, ��������������� ������ ���������,
                     u       x
������� ������� ������� ���������, �. �. ln�u� = 2ln�x�. ������ u = x2.
                                                2
��������� �������� u � ��������� (u/v –           � uv) + uv/ = 2x3, �������
                                                x
v/x2 = 2x3, ��� v/ = 2x. ����� ������ ��������� � ��������������
�����������, �������� u = x2 + C. ����� ������������� ������� �����
����� ��� y = uv = (x2 + C)x2 = x4 + Cx2.
      ������� 2. ������� ���������������� ��������� ������� �������,
����������� ��������� �������. ������� �������� �������������� �
������������ � ���������.
      ���������������� ��������� ������� �������, �����������
��������� �������, ����� ���� ������� � ����������������� �������
����      ����������������        ���������    �������    �������.      ����
���������������� ��������� ����� ��� y// = f(x), �� ��� ��������
���������������� ���������������. ���� � ������ �����������������
��������� �� ������ ������� ������� �, �. �. ��� ����� ��� G(x,y/,y//) = 0,
�� ����� ��������� �������� ����� �������� ��������������� �������
z = y/. ���� � ��������� �� ������ ���������� �, �. �. ��� ����� ���:
G(y,y/,y//) = 0, �� ������� ��������� ����� ��������, ���� �� �����������
���������� ����� y, � �� ����������� ������� ����� z = y/.
      ������ 5. ������ ��������� xy// + y/ = 0.
      ������� z = y/, ����� y// = z/. ��������� �������� y/ � y// � ��������
                                                                      dz    dx
���������, ������� ��������� ����: xz/ + z = 0. ������                   = - .
                                                                       z     x
���������� ������ ���������, �������� � �������: z = C1/x.
����������� � �������������� �������, �������� ��������� y/ = C1/x ���
dy  C
   = 1 . ���������� ������ ���������, ��������: y = C1ln�x� + C2.
dx   x
          ������ 6. ������ ��������� 2yy// = (y/)2 + 1.
                                               dz   dz dy
         ������� z = z(y) = y/, ����� y// =       =   �   = z/(y)z. ��������
                                               dx   dy dx
��������� ������ ���: 2�zz/ = z2 + 1. ��� ��������� � ��������������
                                                 2 zdz dy           d ( z 2 � 1) dy
�����������. ����������� ��� � ����:                   �     ���                �   .
                                                 z2 � 1 y             z2 � 1      y
�������� ��������������, ��������: ln(z2 + 1) = ln�yC� ��� z2 + 1 = yC.
������ ������� z = � yC � 1 . ��� ��� z = y/, �� �������� � ����������
                                                           dy
��������� ������������ �(�): y/ = � yC � 1 ���                   � � dx . ��������
                                                          yC � 1
��������������, �������� � yC � 1 = �(� + �1)/2 ��� �y – 1 = C2(x + C1)2/4.

                                       34