ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
34
(u
/
v –
x
2
uv) + uv
/
= 2x
3
. Ɉɬɤɭɞɚ (u
/
–
x
2
u)v + uv
/
= 2x
3
. ɉɨɥɨɠɢɦ u
/
–
x
2
u =
0, ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ,
u
du
=
x
dx2
, ɨɬɤɭɞɚ, ɩɪɨɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɜ ɞɚɧɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ,
ɩɨɥɭɱɢɦ ɱɚɫɬɧɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ, ɬ. ɟ. ln_u_ = 2ln_x_. Ɉɬɤɭɞɚ u = x
2
.
ɉɨɞɫɬɚɜɢɦ ɡɧɚɱɟɧɢɟ u ɜ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ (u
/
v –
x
2
uv) + uv
/
= 2x
3
, ɩɨɥɭɱɢɦ
v
/
x
2
= 2x
3
, ɢɥɢ v
/
= 2x. Ɋɟɲɚɹ ɞɚɧɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɫ ɪɚɡɞɟɥɹɸɳɢɦɢɫɹ
ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɦɢ, ɩɨɥɭɱɚɟɦ u = x
2
+ C. Ɍɨɝɞɚ ɨɤɨɧɱɚɬɟɥɶɧɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɛɭɞɟɬ
ɢɦɟɬɶ ɜɢɞ y = uv = (x
2
+ C)x
2
= x
4
+ Cx
2
.
Ɂɚɞɚɧɢɟ 2. Ɋɟɲɟɧɢɟ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɵɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɜɬɨɪɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ,
ɞɨɩɭɫɤɚɸɳɢɟ ɩɨɧɢɠɟɧɢɹ ɩɨɪɹɞɤɚ. Ɂɚɞɚɧɢɟ ɜɵɞɚɟɬɫɹ ɩɪɟɩɨɞɚɜɚɬɟɥɟɦ ɜ
ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɢ ɫ ɜɚɪɢɚɧɬɨɦ.
Ⱦɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɜɬɨɪɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ, ɞɨɩɭɫɤɚɸɳɟɟ
ɩɨɧɢɠɟɧɢɟ ɩɨɪɹɞɤɚ, ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɫɜɟɞɟɧɨ ɤ ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨɦɭ ɪɟɲɟɧɢɸ
ɞɜɭɯ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɵɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɩɟɪɜɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ. ȿɫɥɢ
ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ y
//
= f(x), ɬɨ ɨɧɨ ɪɟɲɚɟɬɫɹ
ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɵɦ ɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɟɦ. ȿɫɥɢ ɜ ɡɚɩɢɫɶ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɧɟ ɜɯɨɞɢɬ ɢɫɤɨɦɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ ɭ, ɬ. ɟ. ɨɧɨ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ G(x,y
/
,y
//
) = 0,
ɬɨ ɬɚɤɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɪɟɲɚɟɬɫɹ ɩɭɬɟɦ ɜɜɟɞɟɧɢɹ ɜɫɩɨɦɨɝɚɬɟɥɶɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ
z = y
/
. ȿɫɥɢ ɜ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɧɟ ɜɯɨɞɢɬ ɩɟɪɟɦɟɧɧɚɹ ɯ, ɬ. ɟ. ɨɧɨ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ:
G(y,y
/
,y
//
) = 0, ɬɨ ɩɨɪɹɞɨɤ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɦɨɠɧɨ ɩɨɧɢɡɢɬɶ, ɟɫɥɢ ɡɚ ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɭɸ
ɩɟɪɟɦɟɧɧɭɸ ɜɡɹɬɶ y, ɚ ɡɚ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɭɸ ɮɭɧɤɰɢɸ ɜɡɹɬɶ z = y
/
.
ɉɪɢɦɟɪ 5. Ɋɟɲɢɬɶ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ xy
//
+ y
/
= 0.
ɉɨɥɨɠɢɦ z = y
/
, ɬɨɝɞɚ y
//
= z
/
. ɉɨɞɫɬɚɜɢɜ ɡɧɚɱɟɧɢɹ y
/
ɢ y
//
ɜ ɢɫɯɨɞɧɨɟ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ, ɩɨɥɭɱɢɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɜɢɞɚ: xz
/
+ z = 0. Ɉɬɤɭɞɚ
z
dz
= -
x
dx
.
ɂɧɬɟɝɪɢɪɭɹ ɞɚɧɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ, ɩɪɢɯɨɞɢɦ ɤ ɪɟɲɟɧɢɸ: z = C
1
/x.
ȼɨɡɜɪɚɳɚɹɫɶ ɤ ɩɟɪɜɨɧɚɱɚɥɶɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ, ɩɨɥɭɱɚɟɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ y
/
= C
1
/x ɢɥɢ
dx
dy
=
x
C
1
. ɂɧɬɟɝɪɢɪɭɹ ɞɚɧɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ, ɩɨɥɭɱɚɟɦ: y = C
1
ln_x_ + C
2
.
ɉɪɢɦɟɪ 6. Ɋɟɲɢɬɶ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ 2yy
//
= (y
/
)
2
+ 1.
ɉɨɥɨɠɢɦ z = z(y) = y
/
, ɬɨɝɞɚ y
//
=
dx
dz
=
dy
dz
dx
dy
= z
/
(y)z. ɂɫɯɨɞɧɨɟ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɩɪɢɦɟɬ ɜɢɞ: 2ɭzz
/
= z
2
+ 1. ɗɬɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɫ ɪɚɡɞɟɥɹɸɳɢɦɢɫɹ
ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɦɢ. ɉɪɟɨɛɪɚɡɭɟɦ ɟɝɨ ɤ ɜɢɞɭ:
y
dy
z
zdz
1
2
2
ɢɥɢ
y
dy
z
zd
1
)1(
2
2
.
ȼɵɩɨɥɧɹɹ ɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɟ, ɩɨɥɭɱɚɟɦ: ln(z
2
+ 1) = ln_yC_ ɢɥɢ z
2
+ 1 = yC.
Ɉɬɤɭɞɚ ɫɥɟɞɭɟɬ z = r
1yC . Ɍɚɤ ɤɚɤ z = y
/
, ɬɨ ɩɪɢɯɨɞɢɦ ɤ ɫɥɟɞɭɸɳɟɦɭ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɸ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɭ(ɯ): y
/
= r 1yC ɢɥɢ
dx
yC
dy
r
1
. ȼɵɩɨɥɧɹɹ
ɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɟ, ɩɨɥɭɱɚɟɦ r
1yC = ɋ(ɯ + ɋ
1
)/2 ɢɥɢ ɋy – 1 = C
2
(x + C
1
)
2
/4.
2 2 2 (u/v – � uv) + uv/ = 2x3. ������ (u/ – u)v + uv/ = 2x3. ������� u/ – u = x x x du 2dx 0, �������������, = , ������, ��������������� ������ ���������, u x ������� ������� ������� ���������, �. �. ln�u� = 2ln�x�. ������ u = x2. 2 ��������� �������� u � ��������� (u/v – � uv) + uv/ = 2x3, ������� x v/x2 = 2x3, ��� v/ = 2x. ����� ������ ��������� � �������������� �����������, �������� u = x2 + C. ����� ������������� ������� ����� ����� ��� y = uv = (x2 + C)x2 = x4 + Cx2. ������� 2. ������� ���������������� ��������� ������� �������, ����������� ��������� �������. ������� �������� �������������� � ������������ � ���������. ���������������� ��������� ������� �������, ����������� ��������� �������, ����� ���� ������� � ����������������� ������� ���� ���������������� ��������� ������� �������. ���� ���������������� ��������� ����� ��� y// = f(x), �� ��� �������� ���������������� ���������������. ���� � ������ ����������������� ��������� �� ������ ������� ������� �, �. �. ��� ����� ��� G(x,y/,y//) = 0, �� ����� ��������� �������� ����� �������� ��������������� ������� z = y/. ���� � ��������� �� ������ ���������� �, �. �. ��� ����� ���: G(y,y/,y//) = 0, �� ������� ��������� ����� ��������, ���� �� ����������� ���������� ����� y, � �� ����������� ������� ����� z = y/. ������ 5. ������ ��������� xy// + y/ = 0. ������� z = y/, ����� y// = z/. ��������� �������� y/ � y// � �������� dz dx ���������, ������� ��������� ����: xz/ + z = 0. ������ = - . z x ���������� ������ ���������, �������� � �������: z = C1/x. ����������� � �������������� �������, �������� ��������� y/ = C1/x ��� dy C = 1 . ���������� ������ ���������, ��������: y = C1ln�x� + C2. dx x ������ 6. ������ ��������� 2yy// = (y/)2 + 1. dz dz dy ������� z = z(y) = y/, ����� y// = = � = z/(y)z. �������� dx dy dx ��������� ������ ���: 2�zz/ = z2 + 1. ��� ��������� � �������������� 2 zdz dy d ( z 2 � 1) dy �����������. ����������� ��� � ����: � ��� � . z2 � 1 y z2 � 1 y �������� ��������������, ��������: ln(z2 + 1) = ln�yC� ��� z2 + 1 = yC. ������ ������� z = � yC � 1 . ��� ��� z = y/, �� �������� � ���������� dy ��������� ������������ �(�): y/ = � yC � 1 ��� � � dx . �������� yC � 1 ��������������, �������� � yC � 1 = �(� + �1)/2 ��� �y – 1 = C2(x + C1)2/4. 34
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- …
- следующая ›
- последняя »