Математические уравнения в геофизике. Груздев В.Н. - 33 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

33
ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɢɡ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ y
/
+ f(x)ɭ = g(x). ɉɪɨɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɪɨɜɚɜ ɪɟɲɟɧɢɟ
ɭ = uv, ɩɨɥɭɱɢɦ: y
/
= u
/
v + uv
/
. ɉɨɞɫɬɚɜɢɜ ɡɧɚɱɟɧɢɹ y ɢ y
/
ɜ ɢɫɯɨɞɧɨɟ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ, ɩɨɥɭɱɢɦ: u
/
v + uv
/
+ f(x)uv = g(x). ɋɝɪɭɩɩɢɪɨɜɚɜ ɫɥɚɝɚɟɦɵɟ ɜ
ɥɟɜɨɣ ɱɚɫɬɢ, ɛɭɞɟɦ ɢɦɟɬɶ: (u
/
v + f(x)uv) + uv
/
= g(x). ȼɵɧɨɫɹ ɨɛɳɢɣ
ɦɧɨɠɢɬɟɥɶ v ɡɚ ɫɤɨɛɤɢ, ɩɨɥɭɱɢɦ: (u
/
+ f(x)u)v + uv
/
= g(x). ɇɚɯɨɞɢɦ ɱɚɫɬɧɨɟ
ɪɟɲɟɧɢɟ
u = u(x) ɢɡ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ u
/
+ f(x)u = 0, ɤɨɬɨɪɨɟ ɟɫɬɶ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɫ
ɪɚɡɞɟɥɹɸɳɢɦɢɫɹ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɦɢ. ɉɨɞɫɬɚɜɥɹɹ ɩɨɥɭɱɟɧɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ u ɜ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ (u
/
v + f(x)uv) + uv
/
= g(x), ɩɨɥɭɱɢɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɫ ɪɚɡɞɟɥɹɸɳɢɦɢɫɹ
ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɦɢ, ɢɡ ɤɨɬɨɪɨɝɨ ɧɚɯɨɞɢɦ ɨɛɳɟɟ ɪɟɲɟɧɢɟ v. Ⱦɚɥɟɟ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ
ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɜ ɜɢɞɟ: y = uv.
ɉɪɢɦɟɪ 1. Ɋɟɲɢɬɶ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ
1
2
y
dx = xydy.
Ɋɚɡɞɟɥɢɦ ɥɟɜɭɸ ɢ ɩɪɚɜɭɸ ɱɚɫɬɢ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɧɚ ɜɵɪɚɠɟɧɢɟ ɯ
1
2
y
(ɩɪɢ ɯ z 0), ɩɪɢɯɨɞɢɦ ɤ ɪɚɜɟɧɫɬɜɭ
1
2
y
ydy
x
dx
. ɂɧɬɟɝɪɢɪɭɹ, ɩɨɥɭɱɢɦ:
³³
1
2
y
ydy
x
dx
ɢɥɢ ln_x_ =
1
2
y
+ C
1
. Ɂɚɩɢɲɟɦ ɪɟɲɟɧɢɟ ɜ ɜɢɞɟ:
ɯ =
r e
C1
1
2
y
e ɢɥɢ ɯ = ɋ
1
2
y
e .
ɉɪɢɦɟɪ 2. Ɋɟɲɢɬɶ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ (ɯ + 2y)y
/
= 1.
ɉɪɢ ɪɟɲɟɧɢɢ ɬɚɤɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɨɧɨ ɩɪɢɜɨɞɢɬɫɹ ɤ ɭɪɚɜɧɟɧɢɸ ɫ
ɪɚɡɞɟɥɹɸɳɢɦɢɫɹ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɦɢ ɡɚɦɟɧɨɣ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ z = ax + by + c, ɝɞɟ ɚ,
b ɢɫɧɟɤɨɬɨɪɨɟ ɱɢɫɥɨ. ɉɨɥɨɠɢɦ z = x + 2y. Ɍɨɝɞɚ z
/
= 1 + 2y
./
, ɨɬɤɭɞɚ
y
/
=
2
1
(z
/
– 1). ɂɫɯɨɞɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɩɪɢɜɨɞɢɬɫɹ ɤ ɜɢɞɭ: 1/2z(z
/
– 1) = 1,
ɤɨɬɨɪɵɣ ɞɨɩɭɫɤɚɟɬ ɪɚɡɞɟɥɟɧɢɟ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ.
ɉɪɢɦɟɪ 3. Ɋɟɲɢɬɶ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ y
/
=
x
yx 2
.
Ɍɚɤ ɤɚɤ
x
yx 2
= 1 + 2y/x, ɬɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɩɪɢɦɟɬ ɜɢɞ: y
/
= 1 + 2y/x.
ɉɨɥɨɠɢɦ z = y/x, ɬɨɝɞɚ y = zx ɢ y
/
= z
/
x + z. ɉɨɥɭɱɢɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ z
/
x + z = 1 +
+ 2z ɢɥɢ z
/
x = 1 + z – ɷɬɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɫ ɪɚɡɞɟɥɹɸɳɢɦɢɫɹ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɦɢ.
Ɋɚɡɞɟɥɹɹ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɟ, ɩɨɥɭɱɢɦ:
x
dx
z
dz
1
. ɂɧɬɟɝɪɢɪɭɹ ɩɨɱɥɟɧɧɨ ɩɨɫɥɟɞɧɟɟ
ɪɚɜɟɧɫɬɜɨ, ɩɨɥɭɱɢɦ: ln_1 + z_ = ln_Cɯ_, ɨɬɤɭɞɚ 1 + z = Cx. ȼɨɡɜɪɚɳɚɹɫɶ ɤ
ɩɟɪɜɨɧɚɱɚɥɶɧɵɦ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɦ, ɩɨɥɭɱɢɦ: 1 + y/x = Cx, ɨɬɤɭɞɚ y = (Cx – 1)x –
ɪɟɲɟɧɢɟ ɢɫɯɨɞɧɨɝɨ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ.
ɉɪɢɦɟɪ 4. Ɋɟɲɢɬɶ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ: xy
/
– 2y = 2x
4
.
Ɋɚɡɞɟɥɢɦ ɥɟɜɭɸ ɢ ɩɪɚɜɭɸ ɱɚɫɬɢ ɧɚ ɯ, ɩɨɥɭɱɢɦ ɥɢɧɟɣɧɨɟ
ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɜɢɞɚ y
/
x
2
y = 2x
3
. ɉɭɫɬɶ y = uv, ɬɨɝɞɚ
y
/
= u
/
v + uv
/
. ɂɫɯɨɞɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɩɪɢɦɟɬ ɜɢɞ: u
/
v + uv
/
x
2
uv = 2x
3
, ɢɥɢ
������������ �� ��������� y/ + f(x)� = g(x). ������������������ �������
� = uv, �������: y/ = u/v + uv/. ��������� �������� y � y/ � ��������
���������, �������: u/v + uv/ + f(x)uv = g(x). ������������ ��������� �
����� �����, ����� �����: (u/v + f(x)uv) + uv/ = g(x). ������ �����
��������� v �� ������, �������: (u/ + f(x)u)v + uv/ = g(x). ������� �������
�������
u = u(x) �� ��������� u/ + f(x)u = 0, ������� ���� ��������� �
�������������� �����������. ���������� ���������� �������� u �
��������� (u/v + f(x)uv) + uv/ = g(x), ������� ��������� � ��������������
�����������, �� �������� ������� ����� ������� v. ����� ������������
�������� � ����: y = uv.
      ������ 1. ������ ��������� y 2 � 1 dx = xydy.
        �������� ����� � ������ ����� ��������� �� ��������� �              y2 � 1
                                           dx     ydy
(��� � � 0), �������� � ���������             �            . ����������, �������:
                                            x     y2 � 1
    dx   ydy
�                 ���    ln�x� =   y 2 � 1 + C1. ������� ������� � ����:
     x � y2 � 1
       �

� = � eC1 e y �1 ��� � = � e y �1 .
            2               2




       ������ 2. ������ ��������� (� + 2y)y/ = 1.
       ��� ������� ������ ��������� ��� ���������� � ��������� �
�������������� ����������� ������� ���������� z = ax + by + c, ��� �,
b � � – ��������� �����. ������� z = x + 2y. ����� z/ = 1 + 2y./, ������
       1 /
y/ =     (z – 1). �������� ��������� ���������� � ����: 1/2z(z/ – 1) = 1,
       2
������� ��������� ���������� ����������.
                                            x � 2y
        ������ 3. ������ ��������� y/ =            .
                                               x
                  x � 2y
        ��� ���          = 1 + 2y/x, �� ��������� ������ ���: y/ = 1 + 2y/x.
                     x
������� z = y/x, ����� y = zx � y/ = z/x + z. ������� ��������� z/x + z = 1 +
+ 2z ��� z/x = 1 + z – ��� ��������� � �������������� �����������.
                                    dz    dx
�������� ����������, �������:           �    . ���������� �������� ���������
                                   1� z    x
���������, �������: ln�1 + z� = ln�C��, ������ 1 + z = Cx. ����������� �
�������������� ����������, �������: 1 + y/x = Cx, ������ y = (Cx – 1)x –
������� ��������� ����������������� ���������.
     ������ 4. ������ ���������: xy/ – 2y = 2x4.
     �������� ����� � ������ ����� �� �, ������� ��������
                                         2
���������������� ��������� ���� y/ –       � y = 2x3. ����� y = uv, �����
                                         x
                                                           2
y/ = u/v + uv/. �������� ��������� ������ ���: u/v + uv/ – � uv = 2x3, ���
                                                           x
                                      33