ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
32
Ʌɚɛɨɪɚɬɨɪɧɚɹ ɪɚɛɨɬɚ 6 (3 ɱɚɫɚ). Ɋɟɲɟɧɢɟ ɨɛɵɤɧɨɜɟɧɧɵɯ
ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɵɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɩɟɪɜɨɝɨ ɢ ɜɬɨɪɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɨɜ
Ⱦɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɵɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟɦ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ,
ɫɜɹɡɵɜɚɸɳɟɟ ɢɫɤɨɦɭɸ ɮɭɧɤɰɢɸ ɨɞɧɨɣ ɢɥɢ ɧɟɫɤɨɥɶɤɢɯ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ, ɷɬɢ
ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɟ ɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɟ ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɩɨɪɹɞɤɨɜ. ȿɫɥɢ ɢɫɤɨɦɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ
ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ ɨɞɧɨɣ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ, ɬɨ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ
ɨɛɵɤɧɨɜɟɧɧɵɦ, ɟɫɥɢ ɨɬ ɧɟɫɤɨɥɶɤɢɯ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ, ɬɨ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɟ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟɦ ɜ
ɱɚɫɬɧɵɯ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɯ.
Ɉɛɵɤɧɨɜɟɧɧɨɟ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ n-ɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ ɢɦɟɟɬ
ɜɢɞ: F(ɯ, ɭ, ɭ
/
, y
//
, ... y
( n)
) = 0.
ɉɨɪɹɞɨɤ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɪɚɜɟɧ ɩɨɪɹɞɤɭ ɫɬɚɪɲɟɣ
ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɨɣ. ɋɬɟɩɟɧɶɸ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ
ɫɬɟɩɟɧɶ ɫɬɚɪɲɟɣ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɨɣ.
Ɋɟɲɟɧɢɟɦ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɥɸɛɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ
y = M(x), ɤɨɬɨɪɚɹ, ɛɭɞɭɱɢ ɩɨɞɫɬɚɜɥɟɧɚ ɜ ɷɬɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ, ɨɛɪɚɳɚɟɬ ɟɝɨ ɜ
ɬɨɠɞɟɫɬɜɨ. Ɉɛɳɢɦ ɪɟɲɟɧɢɟɦ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ n-ɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ
ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɬɚɤɨɟ ɟɝɨ ɪɟɲɟɧɢɟ ɭ = M(ɯ, ɋ
1
, ɋ
2
, . . . , ɋ
n
) ɤɨɬɨɪɨɟ ɹɜɥɹɟɬɫɹ
ɮɭɧɤɰɢɟɣ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ ɯ ɢ n ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɵɯ ɩɨɫɬɨɹɧɧɵɯ ɋ
1
, ɋ
2
, . . . , ɋ
n
.
ɑɚɫɬɧɵɦ ɪɟɲɟɧɢɟɦ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɪɟɲɟɧɢɟ,
ɩɨɥɭɱɚɟɦɨɟ ɢɡ ɨɛɳɟɝɨ ɪɟɲɟɧɢɹ ɩɪɢ ɧɟɤɨɬɨɪɵɯ ɤɨɧɤɪɟɬɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɹɯ
ɩɨɫɬɨɹɧɧɵɯ ɋ
1
, ɋ
2
, . . . , ɋ
n
. ȿɫɥɢ ɪɟɲɟɧɢɟ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ
ɡɚɞɚɧɨ ɧɟɹɜɧɨ, ɬ. ɟ. ɜ ɜɢɞɟ: M(ɯ, ɭ) = 0, ɬɨ ɨɧɨ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɢɧɬɟɝɪɚɥɨɦ
ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ.
Ɂɚɞɚɧɢɟ 1. Ɋɟɲɟɧɢɟ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɵɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɩɟɪɜɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ.
Ɂɚɞɚɧɢɟ ɜɵɞɚɟɬɫɹ ɩɪɟɩɨɞɚɜɚɬɟɥɟɦ ɫɨɝɥɚɫɧɨ ɜɚɪɢɚɧɬɭ.
Ⱦɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɵɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɩɟɪɜɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ, ɪɚɡɪɟɲɟɧɧɵɟ
ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɨɣ ɢɦɟɸɬ ɜɢɞ: y
/
= f(x, y).
Ⱦɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɩɟɪɜɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ ɫ ɪɚɡɞɟɥɹɸɳɢɦɢɫɹ
ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɦɢ – ɷɬɨ ɬɚɤɨɟ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ, ɤɨɬɨɪɨɟ ɦɨɠɟɬ
ɛɵɬɶ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɨ ɜ ɜɢɞɟ: dy/dx = f(x)g(x) ɢɥɢ ɜ ɜɢɞɟ: M(x)N(y)dx +
+ P(x)Q(y)dy = 0, ɝɞɟ: f(x), M(x), P(x) – ɧɟɤɨɬɨɪɵɟ ɮɭɧɤɰɢɢ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ ɯ, ɚ
g(y), N(y), Q(y) – ɮɭɧɤɰɢɢ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ ɭ.
Ɉɞɧɨɪɨɞɧɨɟ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɩɟɪɜɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ – ɷɬɨ
ɬɚɤɨɟ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ, ɤɨɬɨɪɨɟ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɨ ɜ
ɜɢɞɟ: y
/
= g(y/x), ɝɞɟ: g – ɧɟɤɨɬɨɪɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ. ȼɜɟɞɟɧɢɟ ɜɫɩɨɦɨɝɚɬɟɥɶɧɨɣ
ɮɭɧɤɰɢɢ z = y/x ɩɨɡɜɨɥɹɟɬ ɫɜɟɫɬɢ ɷɬɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɤ ɭɪɚɜɧɟɧɢɸ ɫ
ɪɚɡɞɟɥɹɸɳɢɦɢɫɹ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɦɢ.
Ʌɢɧɟɣɧɵɟ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɵɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɩɟɪɜɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ – ɷɬɨ
ɬɚɤɨɟ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ, ɤɨɬɨɪɨɟ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ: y
/
+ f(x)y = g(x),
ɝɞɟ f(x) ɢ g(x) – ɧɟɤɨɬɨɪɵɟ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɵɟ ɮɭɧɤɰɢɢ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ ɯ. Ɋɟɲɟɧɢɟ
ɥɢɧɟɣɧɨɝɨ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɢɳɟɬɫɹ ɜ ɜɢɞɟ: y(x) = u(x) ǜ v(x).
Ɉɞɧɚ ɢɡ ɞɚɧɧɵɯ ɮɭɧɤɰɢɣ ɜɵɛɢɪɚɟɬɫɹ ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɨ, ɚ ɞɪɭɝɚɹ –
������������ ������ 6 (3 ����). ������� ������������ ���������������� ��������� ������� � ������� �������� ���������������� ���������� ���������� ���������, ����������� ������� ������� ����� ��� ���������� ����������, ��� ���������� � ����������� ��������� ��������. ���� ������� ������� ������� �� ����� ����������, �� ���������������� ��������� ���������� ������������, ���� �� ���������� ����������, �� ���������������� ��������� ���������� ���������� � ������� �����������. ������������ ���������������� ��������� n-�� ������� ����� ���: F(�, �, �/, y//, ... y( n)) = 0. ������� ����������������� ��������� ����� ������� ������� �����������. �������� ����������������� ��������� ���������� ������� ������� �����������. �������� ����������������� ��������� ���������� ����� ������� y = �(x), �������, ������ ����������� � ��� ���������, �������� ��� � ���������. ����� �������� ����������������� ��������� n-�� ������� ���������� ����� ��� ������� � = �(�, �1, �2, . . . , �n) ������� �������� �������� ���������� � � n ������������ ���������� �1, �2, . . . , �n. ������� �������� ����������������� ��������� ���������� �������, ���������� �� ������ ������� ��� ��������� ���������� ��������� ���������� �1, �2, . . . , �n. ���� ������� ����������������� ��������� ������ ������, �. �. � ����: �(�, �) = 0, �� ��� ���������� ���������� ����������������� ���������. ������� 1. ������� ���������������� ��������� ������� �������. ������� �������� �������������� �������� ��������. ���������������� ��������� ������� �������, ����������� ������������ ����������� ����� ���: y/ = f(x, y). ���������������� ��������� ������� ������� � �������������� ����������� – ��� ����� ���������������� ���������, ������� ����� ���� ������������ � ����: dy/dx = f(x)g(x) ��� � ����: M(x)N(y)dx + + P(x)Q(y)dy = 0, ���: f(x), M(x), P(x) – ��������� ������� ���������� �, � g(y), N(y), Q(y) – ������� ���������� �. ���������� ���������������� ��������� ������� ������� – ��� ����� ���������������� ���������, ������� ����� ���� ������������ � ����: y/ = g(y/x), ���: g – ��������� �������. �������� ��������������� ������� z = y/x ��������� ������ ��� ��������� � ��������� � �������������� �����������. �������� ���������������� ��������� ������� ������� – ��� ����� ���������������� ���������, ������� ����� ���: y/ + f(x)y = g(x), ��� f(x) � g(x) – ��������� ����������� ������� ���������� �. ������� ��������� ����������������� ��������� ������ � ����: y(x) = u(x) � v(x). ���� �� ������ ������� ���������� �����������, � ������ – 32
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 30
- 31
- 32
- 33
- 34
- …
- следующая ›
- последняя »