Математические уравнения в геофизике. Груздев В.Н. - 32 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

32
Ʌɚɛɨɪɚɬɨɪɧɚɹ ɪɚɛɨɬɚ 6 (3 ɱɚɫɚ). Ɋɟɲɟɧɢɟ ɨɛɵɤɧɨɜɟɧɧɵɯ
ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɵɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɩɟɪɜɨɝɨ ɢ ɜɬɨɪɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɨɜ
Ⱦɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɵɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟɦ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ,
ɫɜɹɡɵɜɚɸɳɟɟ ɢɫɤɨɦɭɸ ɮɭɧɤɰɢɸ ɨɞɧɨɣ ɢɥɢ ɧɟɫɤɨɥɶɤɢɯ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ, ɷɬɢ
ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɟ ɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɟ ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɩɨɪɹɞɤɨɜ. ȿɫɥɢ ɢɫɤɨɦɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ
ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ ɨɞɧɨɣ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ, ɬɨ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ
ɨɛɵɤɧɨɜɟɧɧɵɦ, ɟɫɥɢ ɨɬ ɧɟɫɤɨɥɶɤɢɯ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ, ɬɨ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɟ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟɦ ɜ
ɱɚɫɬɧɵɯ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɯ.
Ɉɛɵɤɧɨɜɟɧɧɨɟ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ n-ɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ ɢɦɟɟɬ
ɜɢɞ: F(ɯ, ɭ, ɭ
/
, y
//
, ... y
( n)
) = 0.
ɉɨɪɹɞɨɤ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɪɚɜɟɧ ɩɨɪɹɞɤɭ ɫɬɚɪɲɟɣ
ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɨɣ. ɋɬɟɩɟɧɶɸ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ
ɫɬɟɩɟɧɶ ɫɬɚɪɲɟɣ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɨɣ.
Ɋɟɲɟɧɢɟɦ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɥɸɛɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ
y = M(x), ɤɨɬɨɪɚɹ, ɛɭɞɭɱɢ ɩɨɞɫɬɚɜɥɟɧɚ ɜ ɷɬɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ, ɨɛɪɚɳɚɟɬ ɟɝɨ ɜ
ɬɨɠɞɟɫɬɜɨ. Ɉɛɳɢɦ ɪɟɲɟɧɢɟɦ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ n-ɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ
ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɬɚɤɨɟ ɟɝɨ ɪɟɲɟɧɢɟ ɭ = M(ɯ, ɋ
1
, ɋ
2
, . . . , ɋ
n
) ɤɨɬɨɪɨɟ ɹɜɥɹɟɬɫɹ
ɮɭɧɤɰɢɟɣ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ ɯ ɢ n ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɵɯ ɩɨɫɬɨɹɧɧɵɯ ɋ
1
, ɋ
2
, . . . , ɋ
n
.
ɑɚɫɬɧɵɦ ɪɟɲɟɧɢɟɦ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɪɟɲɟɧɢɟ,
ɩɨɥɭɱɚɟɦɨɟ ɢɡ ɨɛɳɟɝɨ ɪɟɲɟɧɢɹ ɩɪɢ ɧɟɤɨɬɨɪɵɯ ɤɨɧɤɪɟɬɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɹɯ
ɩɨɫɬɨɹɧɧɵɯ ɋ
1
, ɋ
2
, . . . , ɋ
n
. ȿɫɥɢ ɪɟɲɟɧɢɟ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ
ɡɚɞɚɧɨ ɧɟɹɜɧɨ, ɬ. ɟ. ɜ ɜɢɞɟ: M(ɯ, ɭ) = 0, ɬɨ ɨɧɨ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɢɧɬɟɝɪɚɥɨɦ
ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ.
Ɂɚɞɚɧɢɟ 1. Ɋɟɲɟɧɢɟ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɵɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɩɟɪɜɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ.
Ɂɚɞɚɧɢɟ ɜɵɞɚɟɬɫɹ ɩɪɟɩɨɞɚɜɚɬɟɥɟɦ ɫɨɝɥɚɫɧɨ ɜɚɪɢɚɧɬɭ.
Ⱦɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɵɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɩɟɪɜɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ, ɪɚɡɪɟɲɟɧɧɵɟ
ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɨɣ ɢɦɟɸɬ ɜɢɞ: y
/
= f(x, y).
Ⱦɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɩɟɪɜɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ ɫ ɪɚɡɞɟɥɹɸɳɢɦɢɫɹ
ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɦɢɷɬɨ ɬɚɤɨɟ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ, ɤɨɬɨɪɨɟ ɦɨɠɟɬ
ɛɵɬɶ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɨ ɜ ɜɢɞɟ: dy/dx = f(x)g(x) ɢɥɢ ɜ ɜɢɞɟ: M(x)N(y)dx +
+ P(x)Q(y)dy = 0, ɝɞɟ: f(x), M(x), P(x) – ɧɟɤɨɬɨɪɵɟ ɮɭɧɤɰɢɢ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ ɯ, ɚ
g(y), N(y), Q(y) – ɮɭɧɤɰɢɢ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ ɭ.
Ɉɞɧɨɪɨɞɧɨɟ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɩɟɪɜɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚɷɬɨ
ɬɚɤɨɟ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ, ɤɨɬɨɪɨɟ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɨ ɜ
ɜɢɞɟ: y
/
= g(y/x), ɝɞɟ: g – ɧɟɤɨɬɨɪɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ. ȼɜɟɞɟɧɢɟ ɜɫɩɨɦɨɝɚɬɟɥɶɧɨɣ
ɮɭɧɤɰɢɢ z = y/x ɩɨɡɜɨɥɹɟɬ ɫɜɟɫɬɢ ɷɬɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɤ ɭɪɚɜɧɟɧɢɸ ɫ
ɪɚɡɞɟɥɹɸɳɢɦɢɫɹ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɦɢ.
Ʌɢɧɟɣɧɵɟ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɵɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɩɟɪɜɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚɷɬɨ
ɬɚɤɨɟ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ, ɤɨɬɨɪɨɟ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ: y
/
+ f(x)y = g(x),
ɝɞɟ f(x) ɢ g(x) – ɧɟɤɨɬɨɪɵɟ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɵɟ ɮɭɧɤɰɢɢ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ ɯ. Ɋɟɲɟɧɢɟ
ɥɢɧɟɣɧɨɝɨ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɢɳɟɬɫɹ ɜ ɜɢɞɟ: y(x) = u(x) ǜ v(x).
Ɉɞɧɚ ɢɡ ɞɚɧɧɵɯ ɮɭɧɤɰɢɣ ɜɵɛɢɪɚɟɬɫɹ ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɨ, ɚ ɞɪɭɝɚɹ
       ������������ ������ 6 (3 ����). ������� ������������
      ���������������� ��������� ������� � ������� ��������

       ����������������               ����������  ����������    ���������,
����������� ������� ������� ����� ��� ���������� ����������, ���
���������� � ����������� ��������� ��������. ���� ������� �������
������� �� ����� ����������, �� ���������������� ��������� ����������
������������, ���� �� ���������� ����������, �� ����������������
��������� ���������� ���������� � ������� �����������.
       ������������ ���������������� ��������� n-�� ������� �����
���: F(�, �, �/, y//, ... y( n)) = 0.
       ������� ����������������� ��������� ����� ������� �������
�����������. �������� ����������������� ��������� ����������
������� ������� �����������.
       �������� ����������������� ��������� ���������� ����� �������
y = �(x), �������, ������ ����������� � ��� ���������, �������� ��� �
���������. ����� �������� ����������������� ��������� n-�� �������
���������� ����� ��� ������� � = �(�, �1, �2, . . . , �n) ������� ��������
�������� ���������� � � n ������������ ���������� �1, �2, . . . , �n.
������� �������� ����������������� ��������� ���������� �������,
���������� �� ������ ������� ��� ��������� ���������� ���������
���������� �1, �2, . . . , �n. ���� ������� ����������������� ���������
������ ������, �. �. � ����: �(�, �) = 0, �� ��� ���������� ����������
����������������� ���������.
       ������� 1. ������� ���������������� ��������� ������� �������.
������� �������� �������������� �������� ��������.
       ���������������� ��������� ������� �������, �����������
������������ ����������� ����� ���: y/ = f(x, y).
       ���������������� ��������� ������� ������� � ��������������
����������� – ��� ����� ���������������� ���������, ������� �����
���� ������������ � ����: dy/dx = f(x)g(x) ��� � ����: M(x)N(y)dx +
+ P(x)Q(y)dy = 0, ���: f(x), M(x), P(x) – ��������� ������� ���������� �, �
g(y), N(y), Q(y) – ������� ���������� �.
       ���������� ���������������� ��������� ������� ������� – ���
����� ���������������� ���������, ������� ����� ���� ������������ �
����: y/ = g(y/x), ���: g – ��������� �������. �������� ���������������
������� z = y/x ��������� ������ ��� ��������� � ��������� �
�������������� �����������.
       �������� ���������������� ��������� ������� ������� – ���
����� ���������������� ���������, ������� ����� ���: y/ + f(x)y = g(x),
��� f(x) � g(x) – ��������� ����������� ������� ���������� �. �������
��������� ����������������� ��������� ������ � ����: y(x) = u(x) � v(x).
���� �� ������ ������� ���������� �����������, � ������ –
                                    32