ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
35
Ɉɬɤɭɞɚ ɭ =
CC
CxC
1
4
)(
2
1
2
– ɪɟɲɟɧɢɟ ɢɫɯɨɞɧɨɝɨ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ.
Ɂɚɞɚɧɢɟ 3. Ɋɟɲɟɧɢɟ ɥɢɧɟɣɧɵɯ ɨɞɧɨɪɨɞɧɵɯ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɵɯ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɜɬɨɪɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ ɫ ɩɨɫɬɨɹɧɧɵɦɢ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚɦɢ. Ɂɚɞɚɧɢɟ
ɜɵɞɚɟɬɫɹ ɩɪɟɩɨɞɚɜɚɬɟɥɟɦ ɜ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɢ ɫ ɜɚɪɢɚɧɬɨɦ.
Ʌɢɧɟɣɧɨɟ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɜɬɨɪɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ ɫ
ɩɨɫɬɨɹɧɧɵɦɢ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚɦɢ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ: ɭ
//
+ py
/
+qy = f(x), ɝɞɟ p, q –
ɧɟɤɨɬɨɪɵɟ ɞɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɵɟ ɱɢɫɥɚ, f(x) – ɧɟɤɨɬɨɪɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ.
ȿɫɥɢ f(x) = 0, ɬɨ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɭ
//
+ py
/
+qy = 0
ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɨɞɧɨɪɨɞɧɵɦ, ɟɫɥɢ f(x) 0, ɬɨ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ
ɭ
//
+ py
/
+qy = f(x) ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɧɟɨɞɧɨɪɨɞɧɵɦ.
Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɪɟɲɟɧɢɟ ɥɢɧɟɣɧɵɯ ɨɞɧɨɪɨɞɧɵɯ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɵɯ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɜɬɨɪɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ, ɬ. ɟ. ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɜɢɞɚ: ɭ
//
+ py
/
+qy = 0.
ɋɨɫɬɚɜɥɹɟɬɫɹ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɱɟɫɤɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɜɢɞɚ: Ȝ
2
+ p Ȝ + q = 0.
ȿɫɥɢ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɱɟɫɤɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɢɦɟɟɬ ɞɜɚ ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɞɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɵɯ
ɤɨɪɧɹ Ȝ
1
ɢȜ
2
, ɬɨɝɞɚ ɨɛɳɟɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɨɞɧɨɪɨɞɧɨɝɨ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ: ɭ = ɋ
1
ɟ
Ȝ1ɯ
+ ɋ
2
ɟ
Ȝ2ɯ
, ɝɞɟ ɋ
1
ɢɋ
2
– ɧɟɤɨɬɨɪɵɟ ɱɢɫɥɚ.
ȿɫɥɢ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɱɟɫɤɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɢɦɟɟɬ ɞɜɚ ɨɞɢɧɚɤɨɜɵɯ
ɞɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɵɯ ɤɨɪɧɹ Ȝ, ɬɨ ɨɛɳɟɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɨɞɧɨɪɨɞɧɨɝɨ
ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ: ɭ = ɟ
Ȝɯ
(ɋ
1
+ ɯɋ
2
). ȿɫɥɢ
ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɱɟɫɤɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɢɦɟɟɬ ɤɨɦɩɥɟɤɫɧɵɟ ɫɨɩɪɹɠɟɧɧɵɟ ɤɨɪɧɢ
Į + iȕɢĮ – iȕ, ɬɨ ɨɛɳɟɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɨɞɧɨɪɨɞɧɨɝɨ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ: ɭ = ɟ
Įɯ
(ɋ
1
sinȕɯ + ɋ
2
cosȕx).
ɉɪɢɦɟɪ 7. ɇɚɣɬɢ ɨɛɳɟɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ:
ɭ
//
– 3y
/
+ 2y = 0.
ɋɨɫɬɚɜɢɦ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɱɟɫɤɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ O
2
– 3O + 2 = 0. ɇɚɯɨɞɢɦ
ɤɨɪɧɢ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ: O
1
= 1, O
2
= 2. Ɍɚɤ ɤɚɤ ɤɨɪɧɢ
ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɞɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɵɟ ɢ ɪɚɡɧɵɟ ɱɢɫɥɚ, ɬɨ ɨɛɳɟɟ
ɪɟɲɟɧɢɟ ɨɞɧɨɪɨɞɧɨɝɨ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ:
y = C
1
e
x
+ C
2
e
2x
.
ɉɪɢɦɟɪ 8. ɇɚɣɬɢ ɨɛɳɟɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ:
ɭ
//
– 2y
/
+ y = 0.
ɋɨɫɬɚɜɢɦ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɱɟɫɤɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɜɢɞɚ: O
2
– 2O + 1 = 0.
ɇɚɯɨɞɢɦ ɤɨɪɧɢ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ: O
1
= O
2
= 1. Ɍɚɤ ɤɚɤ ɤɨɪɧɢ
ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɞɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɵɟ ɢ ɨɞɢɧɚɤɨɜɵɟ ɱɢɫɥɚ, ɬɨ
ɨɛɳɟɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɨɞɧɨɪɨɞɧɨɝɨ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ:
y = e
x
(ɋ
1
+ C
2
ɯ).
ɉɪɢɦɟɪ 9. ɇɚɣɬɢ ɨɛɳɟɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ:
ɭ
//
– 2y
/
+ 2y = 0.
ɋɨɫɬɚɜɢɦ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɱɟɫɤɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɜɢɞɚ: O
2
– 2O + 2 = 0.
ɇɚɯɨɞɢɦ ɤɨɪɧɢ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ: O
1
= i
i
1
2
22
2
842
C 2 ( x � C1 ) 2 1 ������ � = � – ������� ��������� ����������������� 4C C ���������. ������� 3. ������� �������� ���������� ���������������� ��������� ������� ������� � ����������� ��������������. ������� �������� �������������� � ������������ � ���������. �������� ���������������� ��������� ������� ������� � ����������� �������������� ����� ���: �// + py/ +qy = f(x), ��� p, q – ��������� �������������� �����, f(x) – ��������� �������. ���� f(x) = 0, �� ���������������� ��������� �// + py/ +qy = 0 ���������� ����������, ���� f(x) � 0, �� ���������������� ��������� �// + py/ +qy = f(x) ���������� ������������. ���������� ������� �������� ���������� ���������������� ��������� ������� �������, �. �. ��������� ����: �// + py/ +qy = 0. ������������ ������������������ ��������� ����: �2 + p � + q = 0. ���� ������������������ ��������� ����� ��� ��������� �������������� ����� �1 � �2, ����� ����� ������� ����������� ����������������� ��������� ����� ���: � = �1��1� + �2��2�, ��� �1 � �2 – ��������� �����. ���� ������������������ ��������� ����� ��� ���������� �������������� ����� �, �� ����� ������� ����������� ����������������� ��������� ����� ���: � = ���(�1 + ��2). ���� ������������������ ��������� ����� ����������� ����������� ����� � + i� � � – i�, �� ����� ������� ����������� ����������������� ��������� ����� ���: � = ���(�1sin�� + �2cos�x). ������ 7. ����� ����� ������� ����������������� ���������: �// – 3y/ + 2y = 0. �������� ������������������ ��������� �2 – 3� + 2 = 0. ������� ����� ������������������� ���������: �1 = 1, �2 = 2. ��� ��� ����� ������������������� ��������� �������������� � ������ �����, �� ����� ������� ����������� ����������������� ��������� ����� ���: y = C1ex + C2e2x. ������ 8. ����� ����� ������� ����������������� ���������: �// – 2y/ + y = 0. �������� ������������������ ��������� ����: �2 – 2� + 1 = 0. ������� ����� ������������������� ���������: �1 = �2 = 1. ��� ��� ����� ������������������� ��������� �������������� � ���������� �����, �� ����� ������� ����������� ����������������� ��������� ����� ���: y = ex(�1 + C2�). ������ 9. ����� ����� ������� ����������������� ���������: �// – 2y/ + 2y = 0. �������� ������������������ ��������� ����: �2 – 2� + 2 = 0. 2 � 4 � 8 2 � 2i ������� ����� ������������������� ���������: �1 = � � 1� i 2 2 35
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- …
- следующая ›
- последняя »