Математические уравнения в геофизике. Груздев В.Н. - 35 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

35
Ɉɬɤɭɞɚ ɭ =
CC
CxC
1
4
)(
2
1
2
ɪɟɲɟɧɢɟ ɢɫɯɨɞɧɨɝɨ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ.
Ɂɚɞɚɧɢɟ 3. Ɋɟɲɟɧɢɟ ɥɢɧɟɣɧɵɯ ɨɞɧɨɪɨɞɧɵɯ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɵɯ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɜɬɨɪɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ ɫ ɩɨɫɬɨɹɧɧɵɦɢ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚɦɢ. Ɂɚɞɚɧɢɟ
ɜɵɞɚɟɬɫɹ ɩɪɟɩɨɞɚɜɚɬɟɥɟɦ ɜ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɢ ɫ ɜɚɪɢɚɧɬɨɦ.
Ʌɢɧɟɣɧɨɟ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɜɬɨɪɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ ɫ
ɩɨɫɬɨɹɧɧɵɦɢ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚɦɢ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ: ɭ
//
+ py
/
+qy = f(x), ɝɞɟ p, q –
ɧɟɤɨɬɨɪɵɟ ɞɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɵɟ ɱɢɫɥɚ, f(x) – ɧɟɤɨɬɨɪɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ.
ȿɫɥɢ f(x) = 0, ɬɨ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɭ
//
+ py
/
+qy = 0
ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɨɞɧɨɪɨɞɧɵɦ, ɟɫɥɢ f(x) 0, ɬɨ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ
ɭ
//
+ py
/
+qy = f(x) ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɧɟɨɞɧɨɪɨɞɧɵɦ.
Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɪɟɲɟɧɢɟ ɥɢɧɟɣɧɵɯ ɨɞɧɨɪɨɞɧɵɯ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɵɯ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɜɬɨɪɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ, ɬ. ɟ. ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɜɢɞɚ: ɭ
//
+ py
/
+qy = 0.
ɋɨɫɬɚɜɥɹɟɬɫɹ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɱɟɫɤɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɜɢɞɚ: Ȝ
2
+ p Ȝ + q = 0.
ȿɫɥɢ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɱɟɫɤɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɢɦɟɟɬ ɞɜɚ ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɞɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɵɯ
ɤɨɪɧɹ Ȝ
1
ɢȜ
2
, ɬɨɝɞɚ ɨɛɳɟɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɨɞɧɨɪɨɞɧɨɝɨ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ: ɭ = ɋ
1
ɟ
Ȝ1ɯ
+ ɋ
2
ɟ
Ȝ2ɯ
, ɝɞɟ ɋ
1
ɢɋ
2
ɧɟɤɨɬɨɪɵɟ ɱɢɫɥɚ.
ȿɫɥɢ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɱɟɫɤɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɢɦɟɟɬ ɞɜɚ ɨɞɢɧɚɤɨɜɵɯ
ɞɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɵɯ ɤɨɪɧɹ Ȝ, ɬɨ ɨɛɳɟɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɨɞɧɨɪɨɞɧɨɝɨ
ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ: ɭ = ɟ
Ȝɯ
(ɋ
1
+ ɯɋ
2
). ȿɫɥɢ
ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɱɟɫɤɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɢɦɟɟɬ ɤɨɦɩɥɟɤɫɧɵɟ ɫɨɩɪɹɠɟɧɧɵɟ ɤɨɪɧɢ
Į + iȕɢĮ – iȕ, ɬɨ ɨɛɳɟɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɨɞɧɨɪɨɞɧɨɝɨ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ: ɭ = ɟ
Įɯ
(ɋ
1
sinȕɯ + ɋ
2
cosȕx).
ɉɪɢɦɟɪ 7. ɇɚɣɬɢ ɨɛɳɟɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ:
ɭ
//
– 3y
/
+ 2y = 0.
ɋɨɫɬɚɜɢɦ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɱɟɫɤɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ O
2
– 3O + 2 = 0. ɇɚɯɨɞɢɦ
ɤɨɪɧɢ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ: O
1
= 1, O
2
= 2. Ɍɚɤ ɤɚɤ ɤɨɪɧɢ
ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɞɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɵɟ ɢ ɪɚɡɧɵɟ ɱɢɫɥɚ, ɬɨ ɨɛɳɟɟ
ɪɟɲɟɧɢɟ ɨɞɧɨɪɨɞɧɨɝɨ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ:
y = C
1
e
x
+ C
2
e
2x
.
ɉɪɢɦɟɪ 8. ɇɚɣɬɢ ɨɛɳɟɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ:
ɭ
//
– 2y
/
+ y = 0.
ɋɨɫɬɚɜɢɦ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɱɟɫɤɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɜɢɞɚ: O
2
– 2O + 1 = 0.
ɇɚɯɨɞɢɦ ɤɨɪɧɢ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ: O
1
= O
2
= 1. Ɍɚɤ ɤɚɤ ɤɨɪɧɢ
ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɞɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɵɟ ɢ ɨɞɢɧɚɤɨɜɵɟ ɱɢɫɥɚ, ɬɨ
ɨɛɳɟɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɨɞɧɨɪɨɞɧɨɝɨ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ:
y = e
x
(ɋ
1
+ C
2
ɯ).
ɉɪɢɦɟɪ 9. ɇɚɣɬɢ ɨɛɳɟɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ:
ɭ
//
– 2y
/
+ 2y = 0.
ɋɨɫɬɚɜɢɦ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɱɟɫɤɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɜɢɞɚ: O
2
– 2O + 2 = 0.
ɇɚɯɨɞɢɦ ɤɨɪɧɢ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ: O
1
= i
i
1
2
22
2
842
              C 2 ( x � C1 ) 2 1
������ � =                    �     – ������� ��������� �����������������
                     4C         C
���������.
        ������� 3. ������� �������� ���������� ����������������
��������� ������� ������� � ����������� ��������������. �������
�������� �������������� � ������������ � ���������.
        �������� ���������������� ��������� ������� ������� �
����������� �������������� ����� ���: �// + py/ +qy = f(x), ��� p, q –
��������� �������������� �����, f(x) – ��������� �������.
        ���� f(x) = 0, �� ���������������� ��������� �// + py/ +qy = 0
���������� ����������, ���� f(x) � 0, �� ���������������� ���������
�// + py/ +qy = f(x) ���������� ������������.
        ���������� ������� �������� ���������� ����������������
��������� ������� �������, �. �. ��������� ����: �// + py/ +qy = 0.
        ������������ ������������������ ��������� ����: �2 + p � + q = 0.
���� ������������������ ��������� ����� ��� ��������� ��������������
����� �1 � �2, ����� ����� ������� ����������� �����������������
��������� ����� ���: � = �1��1� + �2��2�, ��� �1 � �2 – ��������� �����.
����       ������������������     ���������   �����     ���     ����������
��������������         �����   �,   ��   �����   �������       �����������
����������������� ��������� ����� ���: � = ���(�1 + ��2). ����
������������������ ��������� ����� ����������� ����������� �����
� + i� � � – i�, �� ����� ������� ����������� �����������������
��������� ����� ���: � = ���(�1sin�� + �2cos�x).
        ������ 7. ����� ����� ������� ����������������� ���������:
�// – 3y/ + 2y = 0.
        �������� ������������������ ��������� �2 – 3� + 2 = 0. �������
����� ������������������� ���������: �1 = 1, �2 = 2. ��� ��� �����
������������������� ��������� �������������� � ������ �����, �� �����
������� ����������� ����������������� ��������� ����� ���:
y = C1ex + C2e2x.
        ������ 8. ����� ����� ������� ����������������� ���������:
 �// – 2y/ + y = 0.
        �������� ������������������ ��������� ����: �2 – 2� + 1 = 0.
������� ����� ������������������� ���������: �1 = �2 = 1. ��� ��� �����
������������������� ��������� �������������� � ���������� �����, ��
����� ������� ����������� ����������������� ��������� ����� ���:
y = ex(�1 + C2�).
        ������ 9. ����� ����� ������� ����������������� ���������:
 �// – 2y/ + 2y = 0.
        �������� ������������������ ��������� ����: �2 – 2� + 2 = 0.
                                                       2 � 4 � 8 2 � 2i
������� ����� ������������������� ���������: �1 =               �       � 1� i
                                                           2       2
                                         35