Математические уравнения в геофизике. Груздев В.Н. - 37 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

37
ɉɪɢɦɟɪ 10. Ɋɟɲɢɬɶ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ: ɭ
//
– 3y
/
+ 2y = ɟ
ɯ
.
Ɋɟɲɢɦ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɟɟ ɨɞɧɨɪɨɞɧɨɟ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ
ɭ
//
– 3y
/
+ 2y = 0. ɋɨɫɬɚɜɢɦ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɱɟɫɤɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ O
2
– 3O + 2 = 0.
ɇɚɯɨɞɢɦ ɤɨɪɧɢ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ O
1
= 1, O
2
= 2. Ɍɚɤ ɤɚɤ
ɤɨɪɧɢ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɞɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɵɟ ɢ ɪɚɡɧɵɟ ɱɢɫɥɚ, ɬɨ
ɨɛɳɟɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɨɞɧɨɪɨɞɧɨɝɨ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ:
y = C
1
e
x
+ C
2
e
2x
. ɇɚɯɨɞɢɦ: y
1
= e
x
, y
2
= e
2x
, y
1
/
= e
x
, y
2
/
= 2e
2x
.
ɉɨɥɚɝɚɹ, ɱɬɨ ɋ
1
ɢɋ
2
ɮɭɧɤɰɢɢ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ ɯ, ɧɚɯɨɞɢɦ ɩɟɪɜɵɟ
ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɟ ɷɬɢɯ ɮɭɧɤɰɢɣ, ɪɟɲɚɹ ɫɢɫɬɟɦɭ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ:
°
¯
°
®
xxx
xx
eexCexC
exCexC
2/
2
/
1
2/
2
/
1
2)()(
,0)()(
°
¯
°
®
xxx
xx
eeCeC
eCeC
2/
2
/
1
2/
2
/
1
2
,0
.
ȼɵɱɢɬɚɟɦ ɢɡ ɜɬɨɪɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɩɟɪɜɨɟ, ɩɨɥɭɱɢɦ: ɋ
2
/
ɟ
2ɯ
= ɟ
ɯ
,
ɋ
2
/
= e
x
/e
2x
= e
–x
.
ɇɚɣɞɟɦ ɋ
1
/
ɜ ɜɢɞɟ: ɋ
1
/
e
x
+ e
–x
e
2x
= 0; (ɋ
1
/
+ 1)ɟ
ɯ
= 0; ɋ
1
/
= –1. ɉɨɥɭɱɢɥɢ ɞɜɚ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɫ ɪɚɡɞɟɥɹɸɳɢɦɢɫɹ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɦɢ: ɋ
2
/
= ɟ
-ɯ
ɢɋ
1
/
= –1.
Ɋɟɲɢɦ ɷɬɢ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ.
dC
2
/dx = e
–x
, dC
2
/
= e
–x
dx, ɨɬɤɭɞɚ: C
2
= –e
–x
+ C
3
,
dC
1
/dx = –1, dC
1
= –dx, ɨɬɤɭɞɚ: C
1
= –x + C
4
,
ɝɞɟ ɋ
3
ɢɋ
4
ɧɟɤɨɬɨɪɵɟ ɩɨɫɬɨɹɧɧɵɟ ɱɢɫɥɚ. Ɉɤɨɧɱɚɬɟɥɶɧɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɩɪɢɦɟɬ
ɜɢɞ: ɭ = (–ɯ + ɋ
4
)ɟ
ɯ
+ (–ɟ
ɯ
+ ɋ
3
)ɟ
2ɯ
= ɋ
4
ɟ
ɯ
+ɋ
3
ɟ
2ɯ
ɯɟ
ɯ
ɟ
ɯ
ɨɛɳɟɟ
ɪɟɲɟɧɢɟ ɧɟɨɞɧɨɪɨɞɧɨɝɨ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ 2-ɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ.
ɉɪɢɦɟɪ 11. ɇɚɣɬɢ ɨɛɳɟɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ: y
//
– 3y
/
= 1 + 6x.
Ɉɛɳɟɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɧɟɨɞɧɨɪɨɞɧɨɝɨ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ
ɛɭɞɟɦ ɢɫɤɚɬɶ ɜ ɜɢɞɟ: ɭ =
yy
~
.
ɇɚɣɞɟɦ ɨɛɳɟɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɨɞɧɨɪɨɞɧɨɝɨ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ:
y
//
– 3y
/
= 0. ɋɨɫɬɚɜɢɦ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɱɟɫɤɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ O
2
– 3O = 0 ɢ ɧɚɣɞɟɦ
ɤɨɪɧɢ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ: O
1
= 0, O
2
= 3. Ɍɚɤ ɤɚɤ ɤɨɪɧɢ
ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɞɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɵɟ ɢ ɪɚɡɧɵɟ ɱɢɫɥɚ, ɬɨ ɨɛɳɟɟ
ɪɟɲɟɧɢɟ ɨɞɧɨɪɨɞɧɨɝɨ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ:
y
= C
1
e
0x
+ C
2
e
3x
= C
1
+ C
2
e
3x
.
ɂɫɯɨɞɹ ɢɡ ɩɪɚɜɨɣ ɱɚɫɬɢ ɢɫɯɨɞɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ, ɡɚɩɢɲɟɦ ɩɨɥɧɵɣ ɜɢɞ
ɩɪɚɜɨɣ ɱɚɫɬɢ: 1 + 6ɯ = ɟ
0ɯ
(1 + 6ɯ). O = 0 – ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɤɨɪɧɟɦ
ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɢ Ɋ
1
(ɯ) = 1 + 6ɯɦɧɨɝɨɱɥɟɧ 1-ɣ ɫɬɟɩɟɧɢ.
ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɱɚɫɬɧɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɧɟɨɞɧɨɪɨɞɧɨɝɨ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɛɭɞɟɬ ɢɦɟɬɶ ɜɢɞ:
y
~
= ɯ(Ⱥ + ȼɯ).
ɇɚɣɞɟɦ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɜ Ⱥ ɢ ȼ.
/
~
y
= Ⱥ + ȼɯ + ȼɯ = Ⱥ + 2ȼɯ.
//
~
y
= 2ȼ. ɉɨɞɫɬɚɜɢɦ ɡɧɚɱɟɧɢɹ
/
~
y
ɢ
//
~
y
ɜ ɢɫɯɨɞɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ, ɩɨɥɭɱɢɦ: 2ȼ
– 3Ⱥ – 6ȼɯ = 1 + 6ɯ, ɢɥɢ (2ȼ – 3Ⱥ) – 6ȼɯ = 1 + 6ɯ. Ⱦɚɧɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ
ɪɚɜɧɨɫɢɥɶɧɨ ɫɢɫɬɟɦɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ:
231,
66.
BA
B
®
¯
Ɋɟɲɚɹ ɷɬɭ ɫɢɫɬɟɦɭ, ɧɚɯɨɞɢɦ,
ɱɬɨ Ⱥ = ȼ = –1.
       ������ 10. ������ ���������: �// – 3y/ + 2y = ��.
       ����� ��������������� ���������� ���������������� ���������
�// – 3y/ + 2y = 0. �������� ������������������ ��������� �2 – 3� + 2 = 0.
������� ����� ������������������� ��������� �1 = 1, �2 = 2. ��� ���
����� ������������������� ��������� �������������� � ������ �����, ��
����� ������� ����������� ����������������� ��������� ����� ���:
y = C1ex + C2e2x. �������: y1 = ex, y2 = e2x, y1/ = ex, y2/ = 2e2x.
       �������, ��� �1 � �2 ������� ���������� �, ������� ������
�����������         ����    �������,         �����        �������   ���������:
��C1/ ( x)e x � C 2/ ( x)e 2 x � 0,     ��C1/ e x � C 2/ e 2 x � 0,
 � /                                  �  � / x                      .
 ��C1 ( x)e x � C 2/ ( x)2e 2 x � e x    ��C1 e � C 2/ 2e 2 x � e x
         �������� �� ������� ��������� ������, �������: �2/�2� = ��,
�2 = ex/e2x = e–x.
   /

������ �1/ � ����: �1/ex + e–xe2x = 0; (�1/ + 1)�� = 0; �1/ = –1. �������� ���
��������� � �������������� �����������: �2/ = �-� � �1/ = –1.
         ����� ��� ���������.
         dC2/dx = e–x, dC2/ = e–xdx, ������: C2 = –e–x + C3,
         dC1/dx = –1, dC1 = –dx, ������: C1 = –x + C4,
��� �3 � �4 – ��������� ���������� �����. ������������� ������� ������
���: � = (–� + �4)�–� + (–�–� + �3)�2� = �4�–�+�3�2� – ��–� – �� – �����
������� ������������� ����������������� ��������� 2-�� �������.
         ������ 11. ����� ����� ������� ���������: y// – 3y/ = 1 + 6x.
         ����� ������� ������������� ����������������� ���������
����� ������ � ����: � = y � ~y .
         ������ ����� ������� ����������� ����������������� ���������:
y// – 3y/ = 0. �������� ������������������ ��������� �2 – 3� = 0 � ������
����� ������������������� ���������: �1 = 0, �2 = 3. ��� ��� �����
������������������� ��������� �������������� � ������ �����, �� �����
������� ����������� ����������������� ��������� ����� ���:
           0x     3x            3x
 y = C1e + C2e = C1 + C2e .
         ������ �� ������ ����� ��������� ���������, ������� ������ ���
������ �����: 1 + 6� = �0�(1 + 6�). � = 0 – �������� ������
������������������� ��������� � �1(�) = 1 + 6� – ��������� 1-� �������.
�������������, ������� ������� ������������� �����������������
��������� ����� ����� ���: ~y = �(� + ��).
         ������ �������� ���������� � � �. ~y / = � + �� + �� = � + 2��.
~y // = 2�. ��������� �������� ~    y/ � ~
                                         y // � �������� ���������, �������: 2� –
– 3� – 6�� = 1 + 6�, ��� (2� – 3�) – 6�� = 1 + 6�. ������ ���������
                                                      �2 B � 3 A � 1,
����������� ������� ���������: �                                      ����� ��� �������, �������,
                                                      ��6 B � 6.
��� � = � = –1.

                                                          37