Математические уравнения в геофизике. Груздев В.Н. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

39
ɇɚɣɞɟɦ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɜ Ⱥ ɢ ȼ.
/
~
y
= –2Ⱥsin2x + 2Bcos2x,
//
~
y
= –4Ⱥcos2x – 4Bsin2x. ɉɨɞɫɬɚɜɢɦ ɡɧɚɱɟɧɢɹ
/
~
y
ɢ
//
~
y
ɜ ɢɫɯɨɞɧɨɟ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ, ɩɨɥɭɱɢɦ: –4Ⱥcos2x – 4Bsin2x + 4Ⱥsin2x – 4Bcos2x + 5Acos2x
+5Bsin2x = sin2x, ɨɬɫɸɞɚ ɫɥɟɞɭɟɬ Ⱥcos2x + Bsin2x + 4Asin2x – 4Bcos2x =
= sin2x, ɢɥɢ (Ⱥ – 4B)cos2x + (B + 4A)sin2x = sin2x. ɉɟɪɟɣɞɟɦ ɤ
ɪɚɜɧɨɫɢɥɶɧɨɣ ɫɢɫɬɟɦɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ:
¯
®
.14
,04
AB
BA
Ɋɟɲɚɹ ɞɚɧɧɭɸ ɫɢɫɬɟɦɭ,
ɩɨɥɭɱɢɦ: Ⱥ = 4/17, B = 1/17. ɂɫɤɨɦɨɟ ɱɚɫɬɧɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɧɟɨɞɧɨɪɨɞɧɨɝɨ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɛɭɞɟɬ ɢɦɟɬɶ ɜɢɞ:
y
~
= (4/17)cos2x + (1/17)sin2x.
Ɍɨɝɞɚ ɨɛɳɟɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɧɟɨɞɧɨɪɨɞɧɨɝɨ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ
ɛɭɞɟɬ ɢɦɟɬɶ ɜɢɞ: ɭ = e
x
(ɋ
1
ɫos2x + C
2
sin2x) + (4/17)cos2x + (1/17)sin2x.
Ʌɚɛɨɪɚɬɨɪɧɚɹ ɪɚɛɨɬɚ 7 (3 ɱɚɫɚ). ɑɢɫɥɨɜɵɟ ɪɹɞɵ
Ɂɚɞɚɧɢɟ 1. ɂɫɫɥɟɞɨɜɚɧɢɟ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɢ ɱɢɫɥɨɜɵɯ ɪɹɞɨɜ ɫ
ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɵɦɢ ɱɥɟɧɚɦɢ. Ɂɚɞɚɧɢɟ ɜɵɞɚɟɬɫɹ ɩɪɟɩɨɞɚɜɚɬɟɥɟɦ ɫɨɝɥɚɫɧɨ
ɜɚɪɢɚɧɬɭ.
ɑɢɫɥɨɜɵɦ ɪɹɞɨɦ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɪɹɞ ɜɢɞɚ: u
1
+ u
2
+ u
3
+ . . . =
¦
f
1n
n
u , ɝɞɟ
u
1
, u
2
, u
3
, . . . ɱɥɟɧɵ ɪɹɞɚ, u
n
– ɨɛɳɢɦ ɱɥɟɧɨɦ ɪɹɞɚ. ɋɭɦɦɚ n = ɩɟɪɜɵɯ
ɱɥɟɧɨɜ ɪɹɞɚ S
n
ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ n-ɨɣɱɚɫɬɢɱɧɨɣɫɭɦɦɨɣɪɹɞɚ.
Ɋɹɞ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɫɯɨɞɹɳɢɦɫɹ, ɟɫɥɢ S
n
ɩɪɢ n ĺ ɫɬɪɟɦɢɬɫɹ ɤ
ɤɨɧɟɱɧɨɦɭ ɩɪɟɞɟɥɭ, ɬ. ɟ.
fon
lim S
n
= S, ɜ ɩɪɨɬɢɜɧɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɪɹɞ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ
ɪɚɫɯɨɞɹɳɢɦɫɹ. ɑɢɫɥɨ S ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɫɭɦɦɨɣ ɪɹɞɚ.
ɉɪɢɡɧɚɤɢ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɢ ɪɹɞɨɜ ɫ ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɵɦɢ ɱɥɟɧɚɦɢ.
ɉɪɢɡɧɚɤ ɫɪɚɜɧɟɧɢɹ. ɉɭɫɬɶ ɞɚɧɵ ɞɜɚ ɪɹɞɚ ɫ ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɵɦɢ ɱɥɟɧɚɦɢ:
¦
f
1n
n
u = u
1
+ u
2
+ u
3
+ . . . (1),
¦
f
1n
n
v = v
1
+ v
2
+ v
3
+ . . . (2),
ɩɪɢɱɟɦ ɤɚɠɞɵɣ ɢɡ ɱɥɟɧɨɜ ɪɹɞɚ (1) ɧɟ ɩɪɟɜɨɫɯɨɞɢɬ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɟɝɨ
ɱɥɟɧɚ ɪɹɞɚ (2), ɬ. ɟ. u
n
v
n
, ɬɨɝɞɚ ɢɡ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɢ ɪɹɞɚ (2) ɫɥɟɞɭɟɬ
ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɶ ɪɹɞɚ (1), ɚ ɢɡ ɪɚɫɯɨɞɢɦɨɫɬɢ ɪɹɞɚ (1) ɫɥɟɞɭɟɬ ɪɚɫɯɨɞɢɦɨɫɬɶ ɪɹɞɚ
(2).
Ⱦɥɹ ɫɪɚɜɧɟɧɢɹ ɢɫɩɨɥɶɡɭɸɬɫɹ ɷɬɚɥɨɧɧɵɟ ɪɹɞɵ:
1. ɝɟɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɢɣ ɪɹɞ
¦
f
1
1
n
n
aq – ɫɯɨɞɢɬɫɹ ɩɪɢ _q_ < 1, ɪɚɫɯɨɞɢɬɫɹ ɩɪɢ _q_t
1;
2. ɝɚɪɦɨɧɢɱɟɫɤɢɣ ɪɹɞ
¦
f
1
1
n
n
– ɪɚɫɯɨɞɢɬɫɹ;
       ������ �������� ���������� � � �. ~y / = –2�sin2x + 2Bcos2x,
~
y // = –4�cos2x – 4Bsin2x. ��������� �������� ~  y/ � ~y // � ��������
���������, �������: –4�cos2x – 4Bsin2x + 4�sin2x – 4Bcos2x + 5Acos2x
+5Bsin2x = sin2x, ������ ������� �cos2x + Bsin2x + 4Asin2x – 4Bcos2x =
= sin2x, ��� (� – 4B)cos2x + (B + 4A)sin2x = sin2x. �������� �
                                                             � A � 4 B � 0,
������������ ������� ���������:                              �              ����� ������ �������,
                                                             � B � 4 A � 1.
�������: � = 4/17, B = 1/17. ������� ������� ������� �������������
��������� ����� ����� ���: ~y = (4/17)cos2x + (1/17)sin2x.
      ����� ����� ������� ������������� ����������������� ���������
����� ����� ���: � = ex(�1�os2x + C2sin2x) + (4/17)cos2x + (1/17)sin2x.

                           ������������ ������ 7 (3 ����). �������� ����

     ������� 1. ������������ ���������� �������� ����� �
�������������� �������. ������� �������� �������������� ��������
��������.
                                                                                           �
               �������� ����� ���������� ��� ����: u1 + u2 + u3 + . . . =                 �u
                                                                                          n �1
                                                                                                 n   , ���
u1, u2, u3, . . . ����� ����, un – ����� ������ ����. ����� n = ������
������ ���� Sn ���������� n-�� ��������� ������ ����.
       ��� ���������� ����������, ���� Sn ��� n � � ��������� �
��������� �������, �. �. lim Sn = S, � ��������� ������ ��� ����������
                                           n ��

������������. ����� S �������� ������ ����.
     �������� ���������� ����� � �������������� �������.
������� ���������. ����� ���� ��� ���� � �������������� �������:
  �

�u
n �1
           n   = u1 + u2 + u3 + . . . (1),
�

�v
n �1
       n   = v1 + v2 + v3 + . . . (2),
������ ������ �� ������ ���� (1) �� ����������� ����������������
����� ���� (2), �. �. un � vn, ����� �� ���������� ���� (2) �������
���������� ���� (1), � �� ������������ ���� (1) ������� ������������ ����
(2).
     ��� ��������� ������������ ��������� ����:
                                      �
1. �������������� ���                � aq
                                     n �1
                                               n �1
                                                      – �������� ��� �q� < 1, ���������� ��� �q� �
       1;
                                     �
                                           1
2. ������������� ���                �n
                                    n �1
                                               – ����������;



                                                           39

Страницы