Математические уравнения в геофизике. Груздев В.Н. - 42 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

42
Ɂɧɚɤɨɱɟɪɟɞɭɸɳɢɣɫɹ ɪɹɞ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɚɛɫɨɥɸɬɧɨ ɫɯɨɞɹɳɢɦɫɹ, ɟɫɥɢ
ɫɯɨɞɢɬɫɹ ɤɚɤ ɫɚɦ ɪɹɞ, ɬɚɤ ɢ ɪɹɞ, ɫɨɫɬɚɜɥɟɧɧɵɣ ɢɡ ɚɛɫɨɥɸɬɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ ɟɝɨ
ɱɥɟɧɨɜ.
Ɂɧɚɤɨɱɟɪɟɞɭɸɳɢɣɫɹ ɪɹɞ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɭɫɥɨɜɧɨ ɫɯɨɞɹɳɢɦɫɹ, ɟɫɥɢ ɫɚɦ
ɪɹɞ ɫɯɨɞɢɬɫɹ, ɚɪɹɞ, ɫɨɫɬɚɜɥɟɧɧɵɣ ɢɡ ɚɛɫɨɥɸɬɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ ɟɝɨ ɱɥɟɧɨɜ,
ɪɚɫɯɨɞɢɬɫɹ.
Ⱥɛɫɨɥɸɬɧɨ ɫɯɨɞɹɳɢɣɫɹ ɪɹɞ ɫɯɨɞɢɬɫɹ ɜ ɨɫɧɨɜɧɨɦ ɜ ɫɢɥɭ ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɢɯ
ɱɥɟɧɵ ɛɵɫɬɪɨ ɭɛɵɜɚɸɬ. ɍɫɥɨɜɧɨ ɫɯɨɞɹɳɢɣɫɹ ɪɹɞ ɫɯɨɞɢɬɫɹ ɜ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɟ
ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɵɟ ɢ ɨɬɪɢɰɚɬɟɥɶɧɵɟ ɫɥɚɝɚɟɦɵɟ ɭɧɢɱɬɨɠɚɸɬ ɞɪɭɝ
ɞɪɭɝɚ.
ɉɪɢɦɟɪ 5. ɂɫɫɥɟɞɨɜɚɬɶ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɶ ɪɹɞɚ:
¦
f
1
2
1
)1(
n
n
n
.
Ɍɚɤ ɤɚɤ ɱɥɟɧɵ ɞɚɧɧɨɝɨ ɡɧɚɤɨɱɟɪɟɞɭɸɳɟɝɨɫɹ ɪɹɞɚ ɭɛɵɜɚɸɬ ɩɨ
ɚɛɫɨɥɸɬɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɟ, ɬ. ɟ. 1 >
2
2
1
>
2
3
1
> . . . >
2
1
n
> . . . , ɢ ɩɪɟɞɟɥ ɨɛɳɟɝɨ
ɱɥɟɧɚ ɪɚɜɟɧ 0. ɬ. ɟ.
fon
lim
2
1
n
= 0, ɬɨ ɩɨ ɩɪɢɡɧɚɤɭ Ʌɟɣɛɧɢɰɚ ɪɹɞ ɫɯɨɞɢɬɫɹ.
Ɍɚɤ ɤɚɤ ɪɹɞ, ɫɨɫɬɚɜɥɟɧɧɵɣ ɢɡ ɚɛɫɨɥɸɬɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ ɱɥɟɧɨɜ ɞɚɧɧɨɝɨ
ɡɧɚɤɨɱɟɪɟɞɭɸɳɟɝɨɫɹ ɪɹɞɚ, ɬ. ɟ. ɪɹɞ
¦
f
1
2
1
n
n
, ɫɯɨɞɢɬɫɹ, ɬɨ ɢɫɯɨɞɧɵɣ
ɡɧɚɤɨɱɟɪɟɞɭɸɳɢɣɫɹ ɪɹɞ ɫɯɨɞɢɬɫɹ ɚɛɫɨɥɸɬɧɨ.
Ɂɚɞɚɧɢɟ 3. ɂɫɫɥɟɞɨɜɚɧɢɟ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɢ ɫɬɟɩɟɧɧɵɯ ɪɹɞɨɜ. Ɂɚɞɚɧɢɟ
ɜɵɞɚɟɬɫɹ ɩɪɟɩɨɞɚɜɚɬɟɥɟɦ ɫɨɝɥɚɫɧɨ ɜɚɪɢɚɧɬɭ.
Ɋɹɞɵ, ɱɥɟɧɚɦɢ ɤɨɬɨɪɵɯ ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɫɬɟɩɟɧɧɵɟ ɮɭɧɤɰɢɢ, ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ
ɫɬɟɩɟɧɧɵɦɢ ɪɹɞɚɦɢ. Ɉɧɢ ɢɦɟɸɬ ɜɢɞ: ɫ
0
+ ɫ
1
ɯ + ɫ
2
ɯ
2
+ . . . + ɫ
n
x
n
+ . . ., ɝɞɟ ɫ
0
,
ɫ
1
, ɫ
2
, …, c
n
ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɵ ɫɬɟɩɟɧɧɨɝɨ ɪɹɞɚ.
ɋɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɶ ɬɟɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɯ, ɩɪɢ ɤɨɬɨɪɵɯ ɫɬɟɩɟɧɧɨɣ ɪɹɞ ɫɯɨɞɢɬɫɹ,
ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɨɛɥɚɫɬɶɸ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɢ ɫɬɟɩɟɧɧɨɝɨ ɪɹɞɚ.
Ɍɟɨɪɟɦɚ Ⱥɛɟɥɹ. ȿɫɥɢ ɫɬɟɩɟɧɧɨɣ ɪɹɞ ɫɯɨɞɢɬɫɹ ɩɪɢ ɡɧɚɱɟɧɢɢ ɯ = ɯ
0
z 0,
ɬɨ ɨɧ ɫɯɨɞɢɬɫɹ, ɩɪɢɬɨɦ ɚɛɫɨɥɸɬɧɨ, ɩɪɢ ɜɫɟɯ ɡɧɚɱɟɧɢɹɯ ɯ ɬɚɤɢɯ, ɱɬɨ
_ɯ_ < _ɯ
0
_. ȿɫɥɢ ɫɬɟɩɟɧɧɨɣ ɪɹɞ ɪɚɫɯɨɞɢɬɫɹ ɩɪɢ ɯ = ɯ
1
, ɬɨ ɨɧ ɪɚɫɯɨɞɢɬɫɹ ɩɪɢ
ɜɫɟɯ ɡɧɚɱɟɧɢɹɯ ɯ ɬɚɤɢɯ, ɱɬɨ _ɯ_ > _ɯ
1
_.
ɂɡ ɬɟɨɪɟɦɵ Ⱥɛɟɥɹ ɫɥɟɞɭɟɬ, ɱɬɨ ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɬɚɤɨɟ ɱɢɫɥɨ R t 0, ɱɬɨ
ɩɪɢ _ɯ_ < R ɪɹɞ ɫɯɨɞɢɬɫɹ, ɚ ɩɪɢ _ɯ_ > R – ɪɚɫɯɨɞɢɬɫɹ. ɑɢɫɥɨ R ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ
ɪɚɞɢɭɫɨɦ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɢ, ɚ ɢɧɬɟɪɜɚɥ (–R; R) – ɢɧɬɟɪɜɚɥɨɦ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɢ
ɫɬɟɩɟɧɧɨɝɨ ɪɹɞɚ. ɇɚ ɤɨɧɰɚɯ ɢɧɬɟɪɜɚɥɚ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɢ, ɬ. ɟ. ɩɪɢ ɯ = –R ɢɯ = R,
ɪɹɞ ɦɨɠɟɬ ɤɚɤ ɫɯɨɞɢɬɫɹ, ɬɚɤ ɢ ɪɚɫɯɨɞɢɬɫɹ.
Ɋɚɞɢɭɫ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɢ ɫɬɟɩɟɧɧɨɝɨ
ɪɹɞɚ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɟ:
R =
1
lim
fo
n
n
n
c
c
. ȿɫɥɢ R = 0, ɬɨ ɢɧɬɟɪɜɚɥ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɢ ɜɵɪɨɠɞɚɟɬɫɹ ɜ ɬɨɱɤɭ.
ȿɫɥɢ R = f, ɬɨ ɢɧɬɟɪɜɚɥ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɢ ɨɯɜɚɬɵɜɚɟɬ ɜɫɸ ɱɢɫɥɨɜɭɸ ɨɫɶ.
      ����������������� ��� ���������� ��������� ����������, ����
�������� ��� ��� ���, ��� � ���, ������������ �� ���������� ������� ���
������.
      ����������������� ��� ���������� ������� ����������, ���� ���
��� ��������, � ���, ������������ �� ���������� ������� ��� ������,
����������.
      ��������� ���������� ��� �������� � �������� � ���� ����, ��� ��
����� ������ �������. ������� ���������� ��� �������� � ����������
����, ��� ������������� � ������������� ��������� ���������� ����
�����.
                                                          �
                                                              (�1) n �1
      ������ 5. ����������� ���������� ����:             �
                                                         n �1   n2
                                                                        .
      ��� ��� ����� ������� ������������������ ���� ������� ��
                                    1    1           1
���������� ��������, �. �. 1 >         > 2 > . . . > 2 > . . . , � ������ ������
                                    22   3           n
                            1
����� ����� 0. �. �. lim       = 0, �� �� �������� �������� ��� ��������.
                     n ��   n2
      ��� ��� ���, ������������ �� ���������� ������� ������ �������
                                               �
                                                     1
������������������ ����, �. �. ���            �n
                                              n �1
                                                     2
                                                         , ��������, �� ��������
����������������� ��� �������� ���������.
        ������� 3. ������������ ���������� ��������� �����. �������
�������� �������������� �������� ��������.
        ����, ������� ������� �������� ��������� �������, ����������
���������� ������. ��� ����� ���: �0 + �1� + �2�2 + . . . + �nxn + . . ., ��� �0,
�1, �2, …, cn – ������������ ���������� ����.
        ������������ ��� �������� �, ��� ������� ��������� ��� ��������,
���������� �������� ���������� ���������� ����.
        ������� �����. ���� ��������� ��� �������� ��� �������� � = �0 � 0,
�� �� ��������, ������ ���������, ��� ���� ��������� � �����, ���
��� < ��0�. ���� ��������� ��� ���������� ��� � = �1, �� �� ���������� ���
���� ��������� � �����, ��� ��� > ��1�.
        �� ������� ����� �������, ��� ���������� ����� ����� R � 0, ���
��� ��� < R ��� ��������, � ��� ��� > R – ����������. ����� R ����������
�������� ����������, � �������� (–R; R) – ���������� ����������
���������� ����. �� ������ ��������� ����������, �. �. ��� � = –R � � = R,
��� ����� ��� ��������, ��� � ����������.
        ������ ���������� ���������� ���� ������������ �� �������:
           cn
R = lim         . ���� R = 0, �� �������� ���������� ����������� � �����.
    n��   cn �1
���� R = �, �� �������� ���������� ���������� ��� �������� ���.


                                         42