Работа в Microsoft Office. Губина Т.Н - 152 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

Губина Т.Н., Масина О.Н., Губин М.А.
152
Выражения, стоящие в правых частях, называются
повторными интегралами.
Замечание. В формуле (2) сначала вычисляется
определенный интеграл
В процессе этого
интегрирования y рассматривается как постоянная ве-
личина.
Но результат интегрирования рассматривается как функция от y, и второе интегриро-
вание (в пределах от c до d) выполняется по аргументу y. В формуле (3) порядок действий
обратный.
Пояснение. Двойной интеграл
выражает объем V призматического
тела c основанием KLMN:
Пример. Вычислить двойной интеграл
Решение. По формуле (3) получаем:
Вариант 10
Рассмотрим дифференциальное уравнение в частных производных
)2(,),(),(
∫∫∫∫
=
b
a
d
cD
dxyxfdydydxyxf
)3(.),(),(
∫∫∫∫
=
d
c
b
aD
dyyxfdxdydxyxf
∫
b
a
dxyxf ),(
.
∫∫
)(
),(
KLMN
dydxyxf
∫∫
−=
3
1
5
2
32
.)25( dydxyyxI
∫∫ ∫
=−=−=
3
1
5
2
3
1
332
.660)6195()25( dyyydxyyxdyI
),(
),(),(
sgn)(
2
2
2
2
txf
x
txu
t
txu
tuDL =
∂
∂
+
∂
∂
= (1)
в области
где
xt
VVV ×= , ],[
21
TTV
t
=
,
]2,0[
π
=
x
V , +∞<<<<∞−
21
0 TT . Здесь
xt
DDD ⋅= , HHL →: , =
H
L - гильбер-
тово пространство комплекснозначных функ-
ций с интегрируемым квадратом
Рассматриваемое уравнение является
уравнением смешанного типа:
при
получаем уравнение гиперболиче-
ского типа;
при
получаем уравнение эллиптического
типа.
Определим граничные условия следующим образом: по переменной
- условие типа
Бицадзе-Самарского, по
)(
2
V
над
V .
0<t
0>t
t
x
- условие периодичности:
Т
1
Т
2
2π
0
t
X
x
t
O X
Y
d
U
c
a b
L K
Q
M N
P
∫∫
=
D
dydxyxfV .),(
                                                                                               Губина Т.Н., Масина О.Н., Губин М.А.
                           d   b
                                                                                           Y
      ∫∫ f ( x, y) dx dy =∫ dy ∫ f ( x, y) dx,
      D                    c   a
                                                                   ( 2)
                                                                                       d
                                                                                                   N                         M
                           b   d

      ∫∫ f ( x, y) dx dy =∫ dx ∫ f ( x, y) dy.
       D                   a    c
                                                                   (3)
                                                                                               P
                                                                                       U                                       Q
    Выражения, стоящие в правых частях, называются
повторными интегралами.
    З а м е ч а н и е . В формуле (2) сначала вычисляется
                                b                                                      c
                                                                                         K                               L
определенный интеграл           ∫ f ( x, y) dx .
                                a
                                                   В процессе этого                    O                                       X
                                                                                       b a
интегрирования y рассматривается как постоянная ве-
личина.
     Но результат интегрирования рассматривается как функция от y, и второе интегриро-
вание (в пределах от c до d) выполняется по аргументу y. В формуле (3) порядок действий
обратный.
     П о я с н е н и е . Двойной интеграл ∫∫ f ( x, y ) dx dy выражает объем V призматического
                                                    ( KLMN )

тела c основанием KLMN:
                                                                   V = ∫∫ f ( x, y ) dx dy.
                                                                           D
                                                            3 5
П р и м е р . Вычислить двойной интеграл I = ∫ ∫ (5 x 2 y − 2 y 3 )dx dy.
                                                            1 2
                                                        3     5                                3
Р е ш е н и е . По формуле (3) получаем: I = ∫ dy ∫ (5 x y − 2 y )dx = ∫ (195 y − 6 y 3 )dy = 660.
                                                                       2       3

                                                        1      2                               1
Вариант 10
       Рассмотрим дифференциальное уравнение в частных производных
                                         ∂ 2 u ( x, t ) ∂ 2 u ( x , t )
                          L( D)u = sgn t               +                = f ( x, t )                                             (1)
                                             ∂t 2           ∂x 2
 в области V = Vt × Vx , где Vt = [T1 , T2 ] ,
 Vx = [0,2π ] , − ∞ < T1 < 0 < T2 < +∞ .       Здесь                       t
 D = Dt ⋅ Dx , L : H → H , H = L 2 (V ) - гильбер-                             Т2
 тово пространство комплекснозначных функ-
 ций с интегрируемым квадратом над V .
       Рассматриваемое уравнение является                                          t
 уравнением смешанного типа:                                                                                                       X
 при t < 0 получаем уравнение гиперболиче-                                     0                       x                  2π
 ского типа;
 при t > 0 получаем уравнение эллиптического                                   Т1
 типа.
     Определим граничные условия следующим образом: по переменной t - условие типа
Бицадзе-Самарского, по x - условие периодичности:




                                                            152

Страницы