Методы сравнительного анализа. Гудков П.А. - 21 стр.

указывающие на то, что в определенном смысле все три введенные нормы
эквивалентны: каждая из них оценивается любой из двух других норм с
точностью до множителя, зависящего от m.
    Аналогичным образом вводят понятие нормы матрицы. Величина

                       A× x
       A = max                                                               (3.7)
            x¹0          x

называется нормой матрицы А, подчиненной норме векторов, введенной в Rm.
    Заметим, что множество всех квадратных матриц размера m ´ m
является векторным пространством. Можно показать, что введенная в этом
пространстве формулой (3.7) норма обладает следующими свойствами,
аналогичными свойствам нормы вектора:

  1.    A ³ 0, причем A = 0 тогда и только тогда, когда А = 0;

  2. a × A = a × A для любого матрицы A и любого числа a ;

  3.    A + B £ A + B для любых матриц A и B.

    Дополнительно к этому верны следующие свойства:

  4.    A × B £ A × B для любых матриц A и B;

  5. для любой матрицы A и любого вектора x справедливо неравенство
        A× x £ A × x .


    Как следует из определения (3.7), каждой из векторных норм                       x

соответствует своя подчиненная норма матрицы A. Известно, в частности,
что нормам             x 1, x   2
                                    и   x   ¥
                                                подчинены нормы   A 1, A 2   и   A ¥,

вычисляемые по формулам:
                       m
       A 1 = max å aij ,
            1£ j £ m
                       i =1




                                                - 21 -