Избранные вопросы курса геометрии и алгебры. Элементы теории определителей. Перестановки и подстановки. Гудович А.Н. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

ɫɨɩɨɫɬɚɜɥɟɧɢɢ ɫɥɚɝɚɟɦɵɦ ɜ ɜɵɪɚɠɟɧɢɢ ɞɥɹ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɟɥɹ
ɬɪɚɧɫɩɨɧɢɪɨɜɚɧɧɨɣ ɦɚɬɪɢɰɵ ɪɚɜɧɵɯ ɢɦ ɫɥɚɝɚɟɦɵɯ ɜ ɜɵɪɚɠɟɧɢɢ ɞɥɹ
ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɟɥɹ ɢɫɯɨɞɧɨɣ ɦɚɬɪɢɰɵ.
ɉɭɫɬɶ
)
n(
.
ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɜɫɟɯ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɨɤ ɢɡ ɩɟɪɜɵɯ n
ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɵɯ ɱɢɫɟɥ, ɚ
N
ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɵɣ ɷɥɟɦɟɧɬ ɷɬɨɝɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ.
ȼɵɩɢɲɟɦ ɮɨɪɦɭɥɵ ɞɥɹ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɟɥɟɣ ɢɫɯɨɞɧɨɣ ɦɚɬɪɢɰɵ
A ɢ
ɬɪɚɧɫɩɨɧɢɪɨɜɚɧɧɨɣ ɦɚɬɪɢɰɵ
B:
)25(,asignAdet
)n(
}n,,2,1{i
)i(i
¦
.N
N
N
¦
)n(
}n,,2,1{j
)j(j
)26(.bsignBdet
.N
N
N
ɉɪɢ ɷɬɨɦ ɜ ɰɟɥɹɯ ɭɞɨɛɫɬɜɚ ɞɚɥɶɧɟɣɲɢɯ ɩɪɟɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɣ ɞɥɹ ɨɛɨɡɧɚɱɟɧɢɹ
ɧɨɦɟɪɨɜ ɫɨɦɧɨɠɢɬɟɥɟɣ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɣ ɜ ɮɨɪɦɭɥɚɯ
(25), (26) ɦɵ
ɢɫɩɨɥɶɡɭɟɦ ɪɚɡɧɵɟ ɢɧɞɟɤɫɵ
i ɢ j ɢ ɤɪɨɦɟ ɬɨɝɨ, ɩɨɫɤɨɥɶɤɭ ɩɨɪɹɞɨɤ
ɫɨɦɧɨɠɢɬɟɥɟɣ ɧɚ ɜɟɥɢɱɢɧɭ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɹ ɧɟ ɜɥɢɹɟɬ, ɧɟ ɬɪɟɛɭɟɦ, ɱɬɨɛɵ
ɭɤɚɡɚɧɧɵɟ ɢɧɞɟɤɫɵ ɩɪɨɛɟɝɚɥɢ ɜɫɟ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɵɯ ɱɢɫɟɥ ɨɬ
1 ɞɨ n
ɧɟɩɪɟɦɟɧɧɨ ɜ ɩɨɪɹɞɤɟ ɜɨɡɪɚɫɬɚɧɢɹ.
Ɂɚɮɢɤɫɢɪɭɟɦ ɤɚɤɭɸ-ɥɢɛɨ ɤɨɧɤɪɟɬɧɭɸ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɭ
S
ɢ
ɪɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɫɥɚɝɚɟɦɨɟ ɫɭɦɦɵ
(26), ɨɬɜɟɱɚɸɳɟɟ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɟ
1
S
, ɬɨ ɟɫɬɶ
ɜɵɪɚɠɟɧɢɟ:
}n,,2,1{j
)j(
1
j
1
)27(.bsign
S
S
Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɡɚɦɟɧɭ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɝɨ:
)
.i(j
S
ȿɫɥɢ ɡɚɫɬɚɜɢɬɶ ɢɧɞɟɤɫ i
ɩɪɨɛɟɠɚɬɶ ɡɞɟɫɶ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɜɫɟɯ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɵɯ ɱɢɫɟɥ ɨɬ 1 ɞɨ n, ɬɨ ɢɧɞɟɤɫ j
ɬɨɠɟ ɩɪɨɛɟɠɢɬ ɭɤɚɡɚɧɧɨɟ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɱɢɫɟɥ. ɉɨɷɬɨɦɭ ɜɟɥɢɱɢɧɭ (27) ɦɨɠɧɨ
ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɜ ɜɢɞɟ
)28(.bsign
}n,,2,1{i
))i((
1
)i(
1
SSS
S
ȼɫɩɨɦɢɧɚɹ ɬɟɩɟɪɶ, ɱɬɨ ɡɧɚɤɢ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɨɤ
1
,
SS
ɫɨɜɩɚɞɚɸɬ, ɢ ɢɫɩɨɥɶɡɭɹ
ɪɚɜɟɧɫɬɜɨ (ɬɪɚɤɬɭɹ ɟɝɨ ɩɪɢ ɷɬɨɦ ɤɚɤ ɪɚɜɟɧɫɬɜɨ, ɫɜɹɡɵɜɚɸɳɟɟ
ɷɥɟɦɟɧɬɵ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɨɤ), ɩɨɥɭɱɚɟɦ ɜɨɡɦɨɠɧɨɫɬɶ ɩɟɪɟɩɢɫɚɬɶ
(28) ɜ ɮɨɪɦɟ:
)41(
c
.bsign
}n,,2,1{i
i)i(
S
S
ɇɚɤɨɧɟɰ, ɩɨɥɶɡɭɹɫɶ ɮɨɪɦɭɥɨɣ (24), ɭɫɬɚɧɚɜɥɢɜɚɸɳɟɣ ɫɜɹɡɶ ɦɟɠɞɭ
ɷɥɟɦɟɧɬɚɦɢ ɢɫɯɨɞɧɨɣ ɢ ɬɪɚɧɫɩɨɧɢɪɨɜɚɧɧɨɣ ɦɚɬɪɢɰ, ɩɨɥɭɱɚɟɦ ɞɥɹ
ɫɥɚɝɚɟɦɨɝɨ
(27) ɫɭɦɦɵ (26) ɫɥɟɞɭɸɳɟɟ ɨɤɨɧɱɚɬɟɥɶɧɨɟ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɟ:
32
�������������    ���������      �   ���������      ���   ������������
����������������� ������� ������ �� ��������� � ��������� ���
������������ �������� �������.
     ����� � ( n ) � ��������� ���� ������������ �� ������          n
����������� �����, � � � ������������ ������� ����� ���������.
     ������� ������� ��� ������������� �������� ������� A �
����������������� ������� B:

                   det A �      �            sign �        �             �    ai � ( i ) ,   ( 25 )
                             � �� ( n )                            i�{ 1, 2 ,� , n }


                   det B �      �            sign �            �          �   b j �( j ).    ( 26 )
                             � �� ( n )                             j�{ 1, 2 ,� , n }


��� ���� � ����� �������� ���������� �������������� ��� �����������
������� ������������       ������������ � �������� (25), (26) ��
���������� ������ ������� i � j � ����� ����, ��������� �������
������������ �� �������� ������������ �� ������, �� �������, �����
��������� ������� ��������� ��� ��������� ����������� ����� �� 1 �� n
���������� � ������� �����������.
     ����������� �����-���� ���������� ������������             � �
���������� ��������� ����� (26), ���������� ������������ � �1 , �� ����
���������:
                  sign � �1 �  � b �1 .                  j�
                                                                  ( 27 )
                                                                      ( j)
                                    j�{ 1, 2 ,� , n }


     ���������� ������ �����������: j � � ( i ). ���� ��������� ������ i
��������� ����� ��������� ���� ����������� ����� �� 1 �� n, �� ������ j
���� �������� ��������� ��������� �����. ������� �������� (27) �����
�������� � ����
                sign � �1 �  � b �1               .
                                                    � ( i )�
                                                                   ( 28 )
                                                                     ( � ( i ))
                                i�{ 1, 2 ,� , n }

��������� ������, ��� ����� ������������ � , � �1 ���������, � ���������
��������� ( 14� ) (������� ��� ��� ���� ��� ���������, �����������
�������� ������������), �������� ����������� ���������� (28) � �����:
                        sign � �   � b� ( i ) i .
                                          i�{ 1, 2 ,� , n }
�������, ��������� ��������       (24), ��������������� ����� �����
���������� �������� � ����������������� ������, �������� ���
���������� (27) ����� (26) ��������� ������������� �������������:

                                              32

Страницы