Избранные вопросы курса геометрии и алгебры. Элементы теории определителей. Перестановки и подстановки. Гудович А.Н. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɦɢ ɫɭɦɦɚɦɢ ɢ ɝɪɭɩɩɢɪɭɹ ɭɩɨɦɹɧɭɬɵɟ ɩɨɩɚɪɧɨ
ɩɪɨɬɢɜɨɩɨɥɨɠɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ, ɩɨɥɭɱɢɦ
,0
B
de
t
A
de
t
ɢɥɢ
.
A
de
t
B
de
t
ɂɬɚɤ, ɫɩɪɚɜɟɞɥɢɜɨ ɫɥɟɞɭɸɳɟɟ ɭɬɜɟɪɠɞɟɧɢɟ.
ɋɜɨɣɫɬɜɨ 8
. ɉɪɢ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɟ ɦɟɫɬɚɦɢ ɥɸɛɵɯ ɞɜɭɯ ɫɬɪɨɤ ɦɚɬɪɢɰɵ
ɟɟ
ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɟɥɶ ɦɟɧɹɟɬ ɡɧɚɤ.
Ɉɬɫɸɞɚ ɜ ɫɜɨɸ ɨɱɟɪɟɞɶ ɤɚɤ ɫɥɟɞɫɬɜɢɟ ɜɵɬɟɤɚɟɬ ɬɚɤɨɟ ɭɬɜɟɪɠɞɟɧɢɟ.
ɋɜɨɣɫɬɜɨ 9
. ȿɫɥɢ ɦɚɬɪɢɰɚ ɢɦɟɟɬ ɞɜɟ ɨɞɢɧɚɤɨɜɵɟ ɫɬɪɨɤɢ, ɬɨ ɟɟ
ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɟɥɶ ɪɚɜɟɧ ɧɭɥɸ.
ȼ ɫɚɦɨɦ ɞɟɥɟ, ɟɫɥɢ ɞɜɟ ɫɬɪɨɤɢ ɨɞɢɧɚɤɨɜɵ, ɬɨ ɩɪɢ ɢɯ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɟ
ɦɚɬɪɢɰɚ ɮɚɤɬɢɱɟɫɤɢ ɧɟ ɢɡɦɟɧɹɟɬɫɹ, ɚ ɡɧɚɱɢɬ, ɟɟ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɟɥɶ ɞɨɥɠɟɧ
ɨɫɬɚɬɶɫɹ ɩɪɟɠɧɢɦ. ɋ ɞɪɭɝɨɣ ɫɬɨɪɨɧɵ, ɜ ɫɢɥɭ
ɫɜɨɣɫɬɜɚ 8 ɨɧ ɞɨɥɠɟɧ
ɢɡɦɟɧɢɬɶ ɡɧɚɤ. ɇɨ ɬɚɤɨɟ ɜɨɡɦɨɠɧɨ ɥɢɲɶ ɜ ɫɥɭɱɚɟ, ɤɨɝɞɚ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɟɥɶ
ɪɚɜɟɧ ɧɭɥɸ.
ɋɜɨɣɫɬɜɚ ɠɟ
6, 7, 9 ɜ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ ɩɨɪɨɠɞɚɸɬ ɫɥɟɞɭɸɳɟɟ ɫɜɨɣɫɬɜɨ.
ɋɜɨɣɫɬɜɨ 10
. ȿɫɥɢ ɤ ɷɥɟɦɟɧɬɚɦ ɤɚɤɨɣ-ɥɢɛɨ ɫɬɪɨɤɢ ɦɚɬɪɢɰɵ
ɩɪɢɛɚɜɢɬɶ
ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɟ ɷɥɟɦɟɧɬɵ ɞɪɭɝɨɣ ɫɬɪɨɤɢ, ɭɦɧɨɠɟɧɧɵɟ ɧɚ
ɨɞɧɨ ɢ ɬɨ ɠɟ ɱɢɫɥɨ Ȝ, ɬɨ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɟɥɶ ɧɟ ɢɡɦɟɧɢɬɫɹ.
Ⱦɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɨ, ɟɫɥɢ
A – ɢɫɯɨɞɧɚɹ ɦɚɬɪɢɰɚ, ɚ B – ɦɚɬɪɢɰɚ,
ɩɨɥɭɱɟɧɧɚɹ ɢɡ ɢɫɯɨɞɧɨɣ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɨɩɢɫɚɧɧɨɝɨ ɩɪɟɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɹ, ɬɨ ɜ ɫɢɥɭ
ɫɜɨɣɫɬɜ
6, 7 ɢɦɟɟɦ:
,Cde
t
A
de
t
B
de
t
O
ɝɞɟ C – ɦɚɬɪɢɰɚ, ɢɦɟɸɳɚɹ ɞɜɟ ɨɞɢɧɚɤɨɜɵɯ ɫɬɪɨɤɢ. ɉɨɫɤɨɥɶɤɭ ɜ ɫɢɥɭ
ɫɜɨɣɫɬɜɚ 9 ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɟɥɶ C ɪɚɜɟɧ ɧɭɥɸ, ɫɩɪɚɜɟɞɥɢɜɨ ɪɚɜɟɧɫɬɜɨ
.
A
de
t
B
de
t
Ⱥɧɚɥɨɝɢɱɧɵɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ɭɫɬɚɧɚɜɥɢɜɚɟɬɫɹ ɫɥɟɞɭɸɳɟɟ ɫɜɨɣɫɬɜɨ.
ɋɜɨɣɫɬɜɨ 11
. ȿɫɥɢ ɤɚɤɚɹ-ɥɢɛɨ ɫɬɪɨɤɚ ɦɚɬɪɢɰɵ ɟɫɬɶ ɥɢɧɟɣɧɚɹ
ɤɨɦɛɢɧɚɰɢɹ ɨɫɬɚɥɶɧɵɯ ɫɬɪɨɤ, ɬɨ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɟɥɶ ɦɚɬɪɢɰɵ ɪɚɜɟɧ ɧɭɥɸ.
ȼ ɫɚɦɨɦ ɞɟɥɟ, ɩɭɫɬɶ, ɤ ɩɪɢɦɟɪɭ, ɩɟɪɜɚɹ ɫɬɪɨɤɚ
)22(]a,,a,a[a
n112111
ɦɚɬɪɢɰɵ
A ɟɫɬɶ ɥɢɧɟɣɧɚɹ ɤɨɦɛɢɧɚɰɢɹ ɨɫɬɚɥɶɧɵɯ ɫɬɪɨɤ:
12233 nn i i1i2 in
aaa a,a[a,a,,a],i2,3,,n.(23)
OO O

Ɂɚɦɟɧɹɹ ɜ ɦɚɬɪɢɰɟ
A ɫɬɪɨɤɭ ɜɵɪɚɠɟɧɢɟɦ (23) ɢ ɩɪɢɦɟɧɹɹ
ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ
ɫɜɨɣɫɬɜɚ 7 ɢ 6, ɩɨɥɭɱɢɦ ɪɚɜɟɧɫɬɜɨ
1
a
,AdetAdetAdetAdet
nn3322
O
O
O
ɝɞɟ
n32
A,,A,A ɦɚɬɪɢɰɵ, ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɟ ɡɚɦɟɧɨɣ ɜ ɦɚɬɪɢɰɟ A ɩɟɪɜɨɣ
ɫɬɪɨɤɢ ɫɬɪɨɤɚɦɢ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨ. Ɍɚɤ ɤɚɤ ɩɨ
ɫɜɨɣɫɬɜɭ 9
ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɟɥɢ ɷɬɢɯ ɦɚɬɪɢɰ ɪɚɜɧɵ ɧɭɥɸ, ɢɦɟɟɦ
n32
a,,a,a
,0
A
de
t
ɱɬɨ ɢ ɬɪɟɛɨɜɚɥɨɫɶ
ɞɨɤɚɡɚɬɶ.
30
���������������� ������� � ��������� ���������� �������
��������������� ��������, �������
                                     det A � det B � 0 ,
���
                                     det B � � det A.
      ����, ����������� ��������� �����������.
      �������� 8. ��� ������������ ������� ����� ���� ����� �������
�� ������������ ������ ����.
      ������ � ���� ������� ��� ��������� �������� ����� �����������.
      �������� 9. ���� ������� ����� ��� ���������� ������, �� ��
������������ ����� ����.
      � ����� ����, ���� ��� ������ ���������, �� ��� �� ������������
������� ���������� �� ����������, � ������, �� ������������ ������
�������� �������. � ������ �������, � ���� �������� 8 �� ������
�������� ����. �� ����� �������� ���� � ������, ����� ������������
����� ����.
      �������� �� 6, 7, 9 � ������������ ��������� ��������� ��������.
      �������� 10. ���� � ��������� �����-���� ������ �������
��������� ��������������� �������� ������ ������, ���������� ��
���� � �� �� ����� �, �� ������������ �� ���������.
      �������������, ���� A – �������� �������, � B – �������,
���������� �� �������� � ������� ���������� ��������������, �� � ����
������� 6, 7 �����:
                                 det B � det A � � det C ,
��� C – �������, ������� ��� ���������� ������. ��������� � ����
�������� 9 ������������ C ����� ����, ����������� ���������
                                        det B � det A.
      ����������� ������� ��������������� ��������� ��������.
      �������� 11. ���� �����-���� ������ ������� ���� ��������
���������� ��������� �����, �� ������������ ������� ����� ����.
      � ����� ����, �����, � �������, ������ ������
                             a1 � [ a11 , a12 ,� ,a1n ]                              ( 22 )
������� A ���� �������� ���������� ��������� �����:
a1 � �2 a2 � �3 a3 � � � �n an , ai � [ ai 1 ,ai 2 , � ,ai n ], i � 2, 3, � , n. ( 23 )
������� � �������            A ������ a1 ���������� (23) � ��������
��������������� �������� 7 � 6, ������� ���������
                      det A � �2 det A2 � �3 det A3 � � � �n det An ,
��� A2 , A3 , � , An � �������, ���������� ������� � ������� A ������
������ �������� a2 , a3 , � , an ��������������. ��� ��� �� �������� 9
������������ ���� ������ ����� ����, ����� det A � 0 , ��� � �����������
��������.
                                            30

Страницы