Избранные вопросы курса геометрии и алгебры. Элементы теории определителей. Перестановки и подстановки. Гудович А.Н. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

ɋɜɨɣɫɬɜɚ 5í11, ɫɮɨɪɦɭɥɢɪɨɜɚɧɧɵɟ ɧɚɦɢ ɩɪɢɦɟɧɢɬɟɥɶɧɨ ɤ ɫɬɪɨɤɚɦ
ɦɚɬɪɢɰɵ
A, ɫɩɪɚɜɟɞɥɢɜɵ ɢ ɩɨ ɨɬɧɨɲɟɧɢɸ ɤ ɟɟ ɫɬɨɥɛɰɚɦ. ɑɬɨɛɵ ɜ ɷɬɨɦ
ɭɛɟɞɢɬɶɫɹ, ɧɚɩɨɦɧɢɦ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɨɩɟɪɚɰɢɢ
ɬɪɚɧɫɩɨɧɢɪɨɜɚɧɢɹ ɦɚɬɪɢɰɵ
ɢ ɭɫɬɚɧɨɜɢɦ ɪɚɜɟɧɫɬɜɨ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɟɥɟɣ ɢɫɯɨɞɧɨɣ ɢ ɬɪɚɧɫɩɨɧɢɪɨɜɚɧɧɨɣ
ɦɚɬɪɢɰ.
Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ 12
. Ɂɚɩɢɲɟɦ ɷɥɟɦɟɧɬɵ 1-ɣ ɫɬɪɨɤɢ ɦɚɬɪɢɰɵ A ɫ
ɫɨɯɪɚɧɟɧɢɟɦ ɢɯ ɩɨɪɹɞɤɚ ɜ ɜɢɞɟ
1-ɝɨ ɫɬɨɥɛɰɚ, ɷɥɟɦɟɧɬɵ 2-ɣ ɫɬɪɨɤɢ – ɜ
ɜɢɞɟ
2-ɝɨ ɫɬɨɥɛɰɚ, …, ɷɥɟɦɟɧɬɵ n-ɣ ɫɬɪɨɤɢ – ɜ ɜɢɞɟ n-ɝɨ ɫɬɨɥɛɰɚ. Ɍɨɝɞɚ
ɩɨɥɭɱɢɬɫɹ ɧɨɜɚɹ ɦɚɬɪɢɰɚ
B, ɧɚɡɵɜɚɟɦɚɹ ɬɪɚɧɫɩɨɧɢɪɨɜɚɧɧɨɣ ɞɥɹ ɦɚɬɪɢɰɵ
A
ɢ ɨɛɨɡɧɚɱɚɟɦɚɹ ɫɢɦɜɨɥɨɦ
T
A
(ɱɢɬɚɟɬɫɹ «A ɬɪɚɧɫɩɨɧɢɪɨɜɚɧɧɚɹ»).
ɍɩɪɚɠɧɟɧɢɟ 13
. Ⱦɥɹ ɦɚɬɪɢɰɵ
»
»
»
¼
º
«
«
«
¬
ª
987
654
321
A
ɧɚɣɬɢ ɬɪɚɧɫɩɨɧɢɪɨɜɚɧɧɭɸ ɦɚɬɪɢɰɭ.
Ɉɬɜɟɬ
:
.
963
852
741
AB
T
»
»
»
¼
º
«
«
«
¬
ª
ɍɫɬɚɧɨɜɢɦ ɫɜɹɡɶ ɦɟɠɞɭ ɷɥɟɦɟɧɬɚɦɢ ɢɫɯɨɞɧɨɣ ɢ ɬɪɚɧɫɩɨɧɢɪɨɜɚɧɧɨɣ
ɦɚɬɪɢɰ. ȼɵɞɟɥɢɦ
j-ɸ ɫɬɪɨɤɭ ɢɫɯɨɞɧɨɣ ɦɚɬɪɢɰɵ A ɢ ɪɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɜ ɧɟɣ
ɷɥɟɦɟɧɬ, ɡɚɧɢɦɚɸɳɢɣ ɜ ɧɟɣ
i-ɟ ɦɟɫɬɨ. ȼ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɢ ɫ ɩɪɢɧɹɬɵɦɢ ɧɚɦɢ
ɨɛɨɡɧɚɱɟɧɢɹɦɢ ɷɬɨ ɛɭɞɟɬ ɷɥɟɦɟɧɬ ɉɨɫɥɟ ɬɪɚɧɫɩɨɧɢɪɨɜɚɧɢɹ ɦɚɬɪɢɰɵ
A ɭɤɚɡɚɧɧɵɣ ɷɥɟɦɟɧɬ ɨɤɚɠɟɬɫɹ ɜ j-ɦ ɫɬɨɥɛɰɟ ɬɪɚɧɫɩɨɧɢɪɨɜɚɧɧɨɣ ɦɚɬɪɢɰɵ
B ɢ ɡɚɣɦɟɬ ɜ ɧɟɣ i-ɟ ɦɟɫɬɨ ɫɜɟɪɯɭ, ɬɨ ɟɫɬɶ ɨɤɚɠɟɬɫɹ ɤ ɬɨɦɭ ɠɟ ɷɥɟɦɟɧɬɨɦ i-
ɬɨɣ ɫɬɪɨɤɢ
ɦɚɬɪɢɰɵ B. Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɢɫɤɨɦɚɹ ɫɜɹɡɶ ɦɟɠɞɭ ɷɥɟɦɟɧɬɚɦɢ
ɢɫɯɨɞɧɨɣ ɢ ɬɪɚɧɫɩɨɧɢɪɨɜɚɧɧɨɣ ɦɚɬɪɢɰ ɡɚɞɚɟɬɫɹ ɪɚɜɟɧɫɬɜɚɦɢ:
.a
ij
)24(.n,,2,1j,n,,2,1i,ab
ijij
ȿɫɥɢ ɡɚɮɢɤɫɢɪɨɜɚɬɶ ɡɞɟɫɶ ɢɧɞɟɤɫ i, ɚ ɢɧɞɟɤɫ j ɡɚɫɬɚɜɢɬɶ ɩɪɨɛɟɝɚɬɶ
ɜɫɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɨɬ
1 ɞɨ n, ɬɨ ɩɪɚɜɚɹ ɱɚɫɬɶ ɪɚɜɟɧɫɬɜɚ (24) ɞɚɫɬ i-ɣ ɫɬɨɥɛɟɰ
ɦɚɬɪɢɰɵ
A, ɚ ɥɟɜɚɹ ɱɚɫɬɶ – i-ɸ ɫɬɪɨɤɭ ɦɚɬɪɢɰɵ B. Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɩɪɢ
ɬɪɚɧɫɩɨɧɢɪɨɜɚɧɢɢ
ɫɬɪɨɤɢ ɢɫɯɨɞɧɨɣ ɦɚɬɪɢɰɵ A ɩɟɪɟɯɨɞɹɬ ɜ ɨɞɧɨɢɦɟɧɧɵɟ
ɫɬɨɥɛɰɵ ɬɪɚɧɫɩɨɧɢɪɨɜɚɧɧɨɣ ɦɚɬɪɢɰɵ B, ɚ ɫɬɨɥɛɰɵ ɦɚɬɪɢɰɵ A – ɜ
ɨɞɧɨɢɦɟɧɧɵɟ
ɫɬɪɨɤɢ ɦɚɬɪɢɰɵ B. Ⱦɪɭɝɢɦɢ ɫɥɨɜɚɦɢ, ɩɪɢ
ɬɪɚɧɫɩɨɧɢɪɨɜɚɧɢɢ
ɦɚɬɪɢɰɵ A ɟɟ ɫɬɨɥɛɰɵ ɢ ɫɬɪɨɤɢ ɦɟɧɹɸɬɫɹ ɦɟɫɬɚɦɢ:
ɫɬɨɥɛɰɵ ɫɬɚɧɨɜɹɬɫɹ
ɫɬɪɨɤɚɦɢ, ɚ ɫɬɪɨɤɢ – ɫɬɨɥɛɰɚɦɢ.
ɋɜɨɣɫɬɜɨ 14. ɉɪɢ ɬɪɚɧɫɩɨɧɢɪɨɜɚɧɢɢ ɦɚɬɪɢɰɵ ɟɟ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɟɥɶ ɧɟ
ɦɟɧɹɟɬɫɹ.
Ⱦɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɨ ɷɬɨɝɨ ɫɜɨɣɫɬɜɚ ɚɧɚɥɨɝɢɱɧɨ ɞɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɭ ɬɨɝɨ, ɱɬɨ
ɩɪɢ ɬɪɚɧɫɩɨɡɢɰɢɢ ɫɬɪɨɤ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɟɥɶ ɦɚɬɪɢɰɵ ɦɟɧɹɟɬ ɡɧɚɤ, ɢ ɨɫɧɨɜɚɧɨ ɧɚ
31
      �������� 5�11, ���������������� ���� ������������� � �������
������� A, ����������� � �� ��������� � �� ��������. ����� � ����
���������, �������� ����������� �������� ���������������� �������
� ��������� ��������� ������������� �������� � �����������������
������.
     ����������� 12. ������� �������� 1-� ������ ������� A �
����������� �� ������� � ���� 1-�� �������, �������� 2-� ������ – �
���� 2-�� �������, …, �������� n-� ������ – � ���� n-�� �������. �����
��������� ����� ������� B, ���������� ����������������� ��� �������
A � ������������ �������� AT (�������� «A �����������������»).
      ���������� 13. ��� �������
                                �1 2 3�
                            A � �4 5 6 �
                                �         �
                                ��7 8 9 ��
����� ����������������� �������.
      �����:
                                    �1 4 7 �
                          B � AT � �2 5 8 � .
                                    �        �
                                    ��3 6 9 ��
      ��������� ����� ����� ���������� �������� � �����������������
������. ������� j-� ������ �������� ������� A � ���������� � ���
�������, ���������� � ��� i-� �����. � ������������ � ��������� ����
������������� ��� ����� ������� a j i . ����� ���������������� �������
A ��������� ������� �������� � j-� ������� ����������������� �������
B � ������ � ��� i-� ����� ������, �� ���� �������� � ���� �� ��������� i-
��� ������ ������� B. ����� �������, ������� ����� ����� ����������
�������� � ����������������� ������ �������� �����������:
               b ij � a j i , i � 1, 2 , � , n , j � 1, 2 , � , n.          ( 24 )
      ���� ������������� ����� ������ i, � ������ j ��������� ���������
��� �������� �� 1 �� n, �� ������ ����� ��������� (24) ���� i-� �������
������� A, � ����� ����� – i-� ������ ������� B. ����� �������, ���
���������������� ������ �������� ������� A ��������� � �����������
������� ����������������� ������� B, � ������� ������� A – �
�����������       ������          �������        B.     �������    �������,   ���
���������������� ������� A �� ������� � ������ �������� �������:
������� ���������� ��������, � ������ – ���������.
      �������� 14. ��� ���������������� ������� �� ������������ ��
��������.
      �������������� ����� �������� ���������� �������������� ����, ���
��� ������������ ����� ������������ ������� ������ ����, � �������� ��
                                       31

Страницы