Избранные вопросы курса геометрии и алгебры. Элементы теории определителей. Перестановки и подстановки. Гудович А.Н. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

ɋɜɨɣɫɬɜɨ 7. ɉɪɢ ɪɚɡɥɨɠɟɧɢɢ i-ɣ ɫɬɪɨɤɢ (i = 1, 2, …, n) ɦɚɬɪɢɰɵ A ɜ
ɫɭɦɦɭ ɞɜɭɯ ɩɨɞɫɬɪɨɤ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɟɥɶ ɦɚɬɪɢɰɵ A ɨɤɚɠɟɬɫɹ ɪɚɜɧɵɦ ɫɭɦɦɟ
ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɟɥɟɣ ɞɜɭɯ ɦɚɬɪɢɰ, ɩɟɪɜɚɹ ɢɡ ɤɨɬɨɪɵɯ ɩɨɥɭɱɚɟɬɫɹ ɢɡ ɦɚɬɪɢɰɵ A
ɡɚɦɟɧɨɣ i-ɣ ɫɬɪɨɤɢ ɧɚ ɩɟɪɜɭɸ ɩɨɞɫɬɪɨɤɭ, ɚ ɜɬɨɪɚɹ – ɡɚɦɟɧɨɣ i-ɣ ɫɬɪɨɤɢ
ɧɚ ɜɬɨɪɭɸ ɩɨɞɫɬɪɨɤɭ.
ɉɨɦɟɧɹɟɦ ɬɟɩɟɪɶ ɦɟɫɬɚɦɢ ɜ ɦɚɬɪɢɰɟ
A ɤɚɤɢɟ-ɥɢɛɨ ɞɜɟ ɫɬɪɨɤɢ,
ɧɚɩɪɢɦɟɪ ɩɟɪɜɭɸ ɢ ɜɬɨɪɭɸ, ɢ ɫɪɚɜɧɢɦ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɟɥɶ ɩɨɥɭɱɟɧɧɨɣ ɦɚɬɪɢɰɵ
B ɫ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɟɥɟɦ ɢɫɯɨɞɧɨɣ ɦɚɬɪɢɰɵ A.
ȼɵɩɢɲɟɦ ɫɥɚɝɚɟɦɨɟ
)16(aaaasign
)n(n)3(3)2(2)1(1
SSSS
S
ɜ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɟɥɟ ɦɚɬɪɢɰɵ A, ɨɬɜɟɱɚɸɳɟɟ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɟ ʌ:
)
17(
)
,n(
)
3(
)
2(
)
1(
SSSS
ɢ ɫɥɚɝɚɟɦɨɟ
)18(bbbbsign
)n(n)3(3)2(2)1(1
SSSS
S
cccc
c
ɜ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɟɥɟ ɦɚɬɪɢɰɵ
B, ɨɬɜɟɱɚɸɳɟɟ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɟ ,
S
c
ɩɨɥɭɱɟɧɧɨɣ ɢɡ
ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɢ
ʌ ɬɪɚɧɫɩɨɡɢɰɢɟɣ ɩɟɪɜɨɝɨ ɢ ɜɬɨɪɨɝɨ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ:
)19().n()3()1()2(:
SSSSS
c
Ɍɚɤ ɤɚɤ ɭ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɨɤ
(17), (19) ɷɥɟɦɟɧɬɵ, ɧɚɱɢɧɚɹ ɫ ɬɪɟɬɶɟɝɨ
ɦɟɫɬɚ, ɫɨɜɩɚɞɚɸɬ, ɜɵɪɚɠɟɧɢɟ
(18) ɦɨɠɧɨ ɩɟɪɟɩɢɫɚɬɶ ɜ ɜɢɞɟ
,bbbbsign
)n(n)3(3)2(2)1(1
SSSS
S
c
cc
ɚ ɬɚɤ ɤɚɤ ɫɬɪɨɤɢ ɦɚɬɪɢɰɵ A, ɧɚɱɢɧɚɹ ɫ ɬɪɟɬɶɟɣ, ɧɟ ɩɟɪɟɫɬɚɜɥɹɥɢɫɶ,
ɩɨɫɥɟɞɧɟɟ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɟ ɦɨɠɧɨ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɤɚɤ
)20(.aabbsign
)n(n)3(3)2(2)1(1
SSSS
S
c
cc
ɉɨɫɤɨɥɶɤɭ
)2(1)2(2)1(2)1(1
ab,ab
SSSS
cccc
ɢ, ɤɪɨɦɟ ɬɨɝɨ,
),1()2(),2()1(
S
S
SS
c
c
ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɟ
(20) ɦɨɠɧɨ ɩɟɪɟɩɢɫɚɬɶ ɜ ɜɢɞɟ
)21(.aaaasign
)n(n)3(3)1(1)2(2
SSSS
S
c
ɋɪɚɜɧɟɧɢɟ ɜɵɪɚɠɟɧɢɣ (21) ɢ (16) ɩɨɤɚɡɵɜɚɟɬ, ɱɬɨ ɨɧɢ ɨɬɥɢɱɚɸɬɫɹ ɥɢɲɶ
ɡɧɚɤɨɦ:
SS
signsign
c
(ɬɪɚɧɫɩɨɡɢɰɢɹ ɦɟɧɹɟɬ ɡɧɚɤ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɢ ɧɚ ɩɪɨɬɢɜɨɩɨɥɨɠɧɵɣ).
ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɜɫɹɤɨɦɭ ɫɥɚɝɚɟɦɨɦɭ
(16) ɜ ɫɭɦɦɟ (5) ɞɥɹ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɟɥɹ
ɦɚɬɪɢɰɵ
A ɜ ɚɧɚɥɨɝɢɱɧɨɣ ɫɭɦɦɟ ɞɥɹ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɟɥɹ ɦɚɬɪɢɰɵ B ɨɬɜɟɱɚɟɬ
ɩɪɨɬɢɜɨɩɨɥɨɠɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ – ɫɥɚɝɚɟɦɨɟ
(18). ɉɪɢ ɷɬɨɦ, ɩɨɫɤɨɥɶɤɭ ɢɡ
ɧɟɨɞɢɧɚɤɨɜɵɯ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɨɤ
ʌ ɜ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɟ ɨɞɧɨɣ ɢ ɬɨɣ ɠɟ ɬɪɚɧɫɩɨɡɢɰɢɢ
ɩɨɥɭɱɚɸɬɫɹ ɧɟɨɞɢɧɚɤɨɜɵɟ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɢ
,
S
c
ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɟ ɦɟɠɞɭ ɬɚɤɢɦɢ
ɩɪɨɬɢɜɨɩɨɥɨɠɧɵɦɢ ɫɥɚɝɚɟɦɵɦɢ ɨɤɚɠɟɬɫɹ ɜɡɚɢɦɧɨ ɨɞɧɨɡɧɚɱɧɵɦ.
ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɡɚɦɟɧɹɹ ɜ ɜɵɪɚɠɟɧɢɢ
(
B
de
t
A
de
t
) ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɟɥɢ
29
      �������� 7. ��� ���������� i-� ������ (i = 1, 2, …, n) ������� A �
����� ���� �������� ������������ ������� A �������� ������ �����
������������� ���� ������, ������ �� ������� ���������� �� ������� A
������� i-� ������ �� ������ ���������, � ������ – ������� i-� ������
�� ������ ���������.
      �������� ������ ������� � ������� A �����-���� ��� ������,
�������� ������ � ������, � ������� ������������ ���������� �������
B � ������������� �������� ������� A.
      ������� ���������
               sign � � a1 � ( 1 ) � a2 � ( 2 ) � a3 � ( 3 ) � � � an � ( n )            ( 16 )
� ������������ ������� A, ���������� ������������ �:
                   � ( 1 ) � ( 2 ) � ( 3 ) � � ( n ),                                    ( 17 )
� ���������
             sign � � � b1 � �( 1 ) � b2 � �( 2 ) � b3 � �( 3 ) � � � bn � �( n )        ( 18 )
� ������������ ������� B, ���������� ������������ � �, ���������� ��
������������ � ������������� ������� � ������� ���������:
                    � � : � ( 2 ) � ( 1 ) � ( 3 ) � � ( n ).                             ( 19 )
      ��� ��� � ������������ (17), (19) ��������, ������� � ��������
�����, ���������, ��������� (18) ����� ���������� � ����
                    sign � � � b1 � �( 1 ) � b2 � �( 2 ) � b3 � ( 3 ) � � � bn � ( n ) ,
� ��� ��� ������ ������� A, ������� � �������, �� ��������������,
��������� ������������ ����� �������� ���
                sign � � � b1 � �( 1 ) � b2 � �( 2 ) � a3 � ( 3 ) � � � an � ( n ) .     ( 20 )
���������
                         b1� �( 1 ) � a2 � �( 1 ) , b2� �( 2 ) � a1� �( 2 )
�, ����� ����,
                          � �( 1 ) � � ( 2 ), � �( 2 ) � � ( 1 ),
������������ (20) ����� ���������� � ����
             sign � � � a2 � ( 2 ) � a1 � ( 1 ) � a3 � ( 3 ) � � � an � ( n ) . ( 21 )
��������� ��������� (21) � (16) ����������, ��� ��� ���������� ����
������:
                                   sign � � � � sign �
(������������ ������ ���� ������������ �� ���������������).
�������������, ������� ���������� (16) � ����� (5) ��� ������������
������� A � ����������� ����� ��� ������������ ������� B ��������
��������������� �������� – ��������� (18). ��� ����, ��������� ��
������������ ������������ � � ���������� ����� � ��� �� ������������
���������� ������������ ������������ � �, ������������ ����� ������
���������������� ���������� �������� ������� �����������.
�������������, ������� � ��������� ( det A � det B ) ������������

                                              29

Страницы