Избранные вопросы курса геометрии и алгебры. Элементы теории определителей. Перестановки и подстановки. Гудович А.Н. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

ɚɧɚɥɢɬɢɱɟɫɤɨɣ ɝɟɨɦɟɬɪɢɢ, ɬɚɤ ɱɬɨ ɮɨɪɦɭɥɭ (5) ɦɨɠɧɨ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɬɶ ɤɚɤ
ɨɛɨɛɳɟɧɢɟ ɮɨɪɦɭɥ ɚɧɚɥɢɬɢɱɟɫɤɨɣ ɝɟɨɦɟɬɪɢɢ ɧɚ ɫɥɭɱɚɣ
n > 3.
Ɂɚɦɟɱɚɧɢɟ 4. ɉɪɢ n = 4 ɫɭɦɦɚ (5) ɫɨɞɟɪɠɢɬ 24 ɫɥɚɝɚɟɦɵɯ (4! = 24).
ɉɪɢ ɞɚɥɶɧɟɣɲɟɦ ɭɜɟɥɢɱɟɧɢɢ
n ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɫɥɚɝɚɟɦɵɯ ɛɵɫɬɪɨ ɪɚɫɬɟɬ;
ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɩɪɢ ɛɨɥɶɲɢɯ
n ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɟ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɟɥɹ ɦɚɬɪɢɰɵ ɩɨ
ɮɨɪɦɭɥɟ
(5) ɜɟɫɶɦɚ ɬɪɭɞɨɟɦɤɨ. ɉɨɷɬɨɦɭ ɮɨɪɦɭɥɚ (5) ɢɫɩɨɥɶɡɭɟɬɫɹ,
ɝɥɚɜɧɵɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɩɪɢ ɬɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɨɦ ɢɡɭɱɟɧɢɢ ɫɜɨɣɫɬɜ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɟɥɹ;
ɭɫɬɚɧɨɜɥɟɧɧɵɟ ɩɪɢ ɷɬɨɦ ɫɜɨɣɫɬɜɚ ɩɨɡɜɨɥɹɸɬ ɭɤɚɡɚɬɶ ɦɟɧɟɟ ɬɪɭɞɨɟɦɤɢɟ
ɩɪɢɟɦɵ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɟɥɹ.
Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɟ
(2), ɜɯɨɞɹɳɟɟ ɫ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɨɦ
S
s
ign ɜ
ɫɭɦɦɭ
(5):
1 (1) 2 (2) i (i) n (n)
s
ign a a a a . ( 13 )
SS S S
S

Ʉɚɠɞɨɟ ɬɚɤɨɟ ɫɥɚɝɚɟɦɨɟ ɫɭɦɦɵ (5) ɫɨɞɟɪɠɢɬ ɨɞɢɧ ɢ ɬɨɥɶɤɨ ɨɞɢɧ
ɷɥɟɦɟɧɬ ɢɡ ɤɚɠɞɨɣ ɫɬɪɨɤɢ ɦɚɬɪɢɰɵ, ɚ ɢɦɟɧɧɨ ɷɥɟɦɟɧɬ ɢɡ ɩɟɪɜɨɣ
ɫɬɪɨɤɢ, ɷɥɟɦɟɧɬ ɢɡ ɜɬɨɪɨɣ ɫɬɪɨɤɢ, …, ɷɥɟɦɟɧɬ ɢɡ
n-ɣ
ɫɬɪɨɤɢ. ɉɨɷɬɨɦɭ, ɟɫɥɢ ɤɚɤɚɹ-ɬɨ ɢɡ ɫɬɪɨɤ ɦɚɬɪɢɰɵ A ɫɨɫɬɨɢɬ ɢɡ ɨɞɧɢɯ
ɧɭɥɟɣ, ɬɨ ɜɫɟ ɫɥɚɝɚɟɦɵɟ
(13) ɫɨɞɟɪɠɚɬ ɧɭɥɟɜɨɣ ɦɧɨɠɢɬɟɥɶ, ɚ ɩɨɬɨɦɭ ɢ ɜɫɹ
ɫɭɦɦɚ ɪɚɜɧɚ ɧɭɥɸ.
)1(1
a
S
)2(2
a
S
)n(n
a
S
ɋɜɨɣɫɬɜɨ 5. ȿɫɥɢ ɦɚɬɪɢɰɚ A ɫɨɞɟɪɠɢɬ ɧɭɥɟɜɭɸ ɫɬɪɨɤɭ (ɬ. ɟ.
ɫɬɪɨɤɭ, ɫɨɫɬɨɹɳɭɸ ɢɡ ɨɞɧɢɯ ɧɭɥɟɣ), ɬɨ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɟɥɶ ɷɬɨɣ ɦɚɬɪɢɰɵ
ɪɚɜɟɧ ɧɭɥɸ.
ɉɨ ɬɨɣ ɠɟ ɩɪɢɱɢɧɟ ɭɦɧɨɠɟɧɢɟ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɤɚɤɨɣ-ɥɢɛɨ ɫɬɪɨɤɢ
ɦɚɬɪɢɰɵ
A ɧɚ ɨɞɧɨ ɢ ɬɨ ɠɟ ɱɢɫɥɨ Ȝ ɩɪɢɜɨɞɢɬ ɤ ɭɜɟɥɢɱɟɧɢɸ ɜ Ȝ ɪɚɡ
ɤɚɠɞɨɝɨ ɫɥɚɝɚɟɦɨɝɨ
(15), ɚ ɡɧɚɱɢɬ, ɢ ɭɜɟɥɢɱɟɧɢɟ ɜ Ȝ ɪɚɡ ɜɫɟɣ ɫɭɦɦɵ (5).
ɋɜɨɣɫɬɜɨ 6. ɉɪɢ ɭɦɧɨɠɟɧɢɢ ɜɫɟɯ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɤɚɤɨɣ-ɥɢɛɨ ɜɵɛɪɚɧɧɨɣ
ɫɬɪɨɤɢ ɦɚɬɪɢɰɵ A
ɧɚ Ȝ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɟɥɶ ɦɚɬɪɢɰɵ ɭɜɟɥɢɱɢɜɚɟɬɫɹ ɜ Ȝ ɪɚɡ.
Ⱦɚɥɟɟ, ɩɭɫɬɶ ɤɚɠɞɵɣ ɷɥɟɦɟɧɬ
i-ɣ ɫɬɪɨɤɢ ɦɚɬɪɢɰɵ A ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧ ɜ
ɜɢɞɟ ɫɭɦɦɵ ɞɜɭɯ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ:
.n,,2,1j,aaa
ijijij
c
c
Ɍɨɝɞɚ ɫɥɚɝɚɟɦɨɟ (13) ɫɭɦɦɵ (5) ɨɤɚɠɟɬɫɹ ɫɭɦɦɨɣ ɞɜɭɯ ɫɥɚɝɚɟɦɵɯ:
)14(.aaaaasign
aaaaasign
)n(n)i(i)1i(1i)2(2)1(1
)n(n)i(i)1i(1i)2(2)1(1
SSSSS
SSSSS
S
S
cc
c
Ɂɚɦɟɧɹɹ ɜ ɫɭɦɦɟ (5) ɫɥɚɝɚɟɦɵɟ (13) ɜɵɪɚɠɟɧɢɹɦɢ (14) ɢ ɝɪɭɩɩɢɪɭɹ
ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ ɜ ɞɜɟ ɩɨɞɫɭɦɦɵ, ɩɨɥɭɱɢɦ ɪɚɜɟɧɫɬɜɨ
)15(,AdetAdetAdet
cc
c
ɝɞɟ ɦɚɬɪɢɰɵ, ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɟ ɢɡ ɦɚɬɪɢɰɵ
A ɡɚɦɟɧɨɣ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɟɟ i-ɣ
ɫɬɪɨɤɢ ɷɥɟɦɟɧɬɚɦɢ
ccc
A,A
ni2i1i
a,,a,a
ccc
ɢ
ni2i1i
a,,a,a
cccccc
ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨ.
28
������������� ���������, ��� ��� ������� (5) ����� ������������� ���
��������� ������ ������������� ��������� �� ������ n > 3.
     ��������� 4. ��� n = 4 ����� (5) �������� 24 ��������� (4! = 24).
��� ���������� ���������� n ���������� ��������� ������ ������;
�������������, ��� ������� n ���������� ������������ ������� ��
������� (5) ������ ���������. ������� ������� (5) ������������,
������� �������, ��� ������������� �������� ������� ������������;
������������� ��� ���� �������� ��������� ������� ����� ����������
������ ���������� ������������.
     ���������� ������������ (2), �������� � ������������� sign � �
����� (5):
                sign � � a1� ( 1 ) � a2 � ( 2 ) � � � ai � ( i ) � � � an � ( n ) . ( 13 )
    ������ ����� ��������� ����� (5) �������� ���� � ������ ����
������� �� ������ ������ �������, � ������ ������� a1� ( 1 ) �� ������
������, ������� a2 � ( 2 ) �� ������ ������, …, ������� an � ( n ) �� n-�
������. �������, ���� �����-�� �� ����� ������� A ������� �� �����
�����, �� ��� ��������� (13) �������� ������� ���������, � ������ � ���
����� ����� ����.
      �������� 5. ���� ������� A �������� ������� ������ (�. �.
������, ��������� �� ����� �����), �� ������������ ���� �������
����� ����.
      �� ��� �� ������� ��������� ��������� �����-���� ������
������� A �� ���� � �� �� ����� � �������� � ���������� � � ���
������� ���������� (15), � ������, � ���������� � � ��� ���� ����� (5).
      �������� 6. ��� ��������� ���� ��������� �����-���� ���������
������ ������� A �� � ������������ ������� ������������� � � ���.
      �����, ����� ������ ������� i-� ������ ������� A ����������� �
���� ����� ���� ���������:
                        aij � aij� � aij� , j � 1, 2 , � , n.
����� ��������� (13) ����� (5) �������� ������ ���� ���������:

           sign � � a1 � ( 1 ) � a2 � ( 2 ) � � � ai � 1 � ( i � 1 ) � ai�� ( i ) � � � an � ( n ) �
           � sign � � a1 � ( 1 ) � a2 � ( 2 ) � � � ai � 1 � ( i � 1 ) � ai��� ( i ) � � � an � ( n ) .   ( 14 )

������� � ����� (5) ��������� (13) ����������� (14) � ���������
��������� � ��� ��������, ������� ���������
                    det A � det A� � det A��,                                           ( 15 )
��� A�, A�� � �������, ���������� �� ������� A ������� ��������� �� i-�
������ ���������� ai� 1 , ai� 2 , � , ai� n � ai��1 , ai��2 , � , ai��n ��������������.


                                                         28

Страницы