Избранные вопросы курса геометрии и алгебры. Элементы теории определителей. Перестановки и подстановки. Гудович А.Н. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

ɍɩɪɚɠɧɟɧɢɟ 59. ɉɨɤɚɡɚɬɶ, ɱɬɨ ɩɪɢ ɮɢɤɫɢɪɨɜɚɧɧɨɦ n ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ
ɜɫɟɯ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɨɤ ɢɡ ɩɟɪɜɵɯ
n ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɵɯ ɱɢɫɟɥ ɫ ɭɦɧɨɠɟɧɢɟɦ
ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɨɤ ɜ ɤɚɱɟɫɬɜɟ ɝɪɭɩɩɨɜɨɣ ɨɩɟɪɚɰɢɢ ɨɛɪɚɡɭɸɬ ɝɪɭɩɩɭ.
ɍɤɚɡɚɧɢɟ
: ɩɪɢɧɹɬɶ ɜ ɤɚɱɟɫɬɜɟ ɟɞɢɧɢɱɧɨɝɨ ɷɥɟɦɟɧɬɚ ɛɚɡɨɜɭɸ
ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɭ
[
]
.n,,2,1e
§ 2. Ɉɩɪɟɞɟɥɢɬɟɥɢ ɢ ɢɯ ɫɜɨɣɫɬɜɚ
Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɤɜɚɞɪɚɬɧɭɸ ɦɚɬɪɢɰɭ
n-ɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ, ɬɨ ɟɫɬɶ ɬɚɛɥɢɰɭ
ɱɢɫɟɥ ɫ
n ɫɬɪɨɤɚɦɢ ɢ n ɫɬɨɥɛɰɚɦɢ.
ȿɫɥɢ ɨɛɨɡɧɚɱɢɬɶ ɱɟɪɟɡ ɱɢɫɥɨ, ɪɚɫɩɨɥɨɠɟɧɧɨɟ ɜ
i-ɣ ɫɬɪɨɤɟ ɢ
j-ɦ
ɫɬɨɥɛɰɟ, ɬɨ ɦɚɬɪɢɰɭ ɦɨɠɧɨ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɜ ɫɥɟɞɭɸɳɟɦ ɨɛɳɟɦ ɜɢɞɟ:
ij
a
)1(.
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
nnnj2n1n
inij2i1i
n2j22221
n1j11211
»
»
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
«
«
¬
ª
ȼɫɹɤɚɹ ɤɜɚɞɪɚɬɧɚɹ ɦɚɬɪɢɰɚ ɨɛɥɚɞɚɟɬ ɜɚɠɧɨɣ ɱɢɫɥɨɜɨɣ
ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɨɣ –
ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɟɥɟɦ ɦɚɬɪɢɰɵ, ɢɥɢ ɟɟ ɞɟɬɟɪɦɢɧɚɧɬɨɦ (ɨɬ
ɥɚɬ.
determinantis – ɨɩɪɟɞɟɥɹɸɳɢɣ). ɗɬɚ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɚ ɨɛɨɡɧɚɱɚɟɬɫɹ
ɫɢɦɜɨɥɨɦ
det A (ɱɢɬɚɟɬɫɹ «ɞɟɬɟɪɦɢɧɚɧɬ A»).
Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ 1
. ɉɭɫɬɶ ʌ – ɤɚɤɚɹ-ɥɢɛɨ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɚ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɵɯ
ɱɢɫɟɥ ɨɬ
1 ɞɨ n. ɋɨɫɬɚɜɢɦ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɟ n ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɦɚɬɪɢɰɵ (1)
ɫɥɟɞɭɸɳɟɝɨ ɜɢɞɚ:
)2(.aaaa
)n(n)i(i)2(2)1(1
SSSS
Ɂɞɟɫɶ ɩɟɪɜɵɟ ɢɧɞɟɤɫɵ (ɧɨɦɟɪɚ ɫɬɪɨɤ) ɨɛɪɚɡɭɸɬ ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨɫɬɶ
)
3
(
,ni21
ɚ ɜɬɨɪɵɟ ɢɧɞɟɤɫɵ (ɧɨɦɟɪɚ ɫɬɨɥɛɰɨɜ) ɨɛɪɚɡɭɸɬ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɭ
ʌ:
)
4
(
.
)
n
(
)
i
(
)
2
(
)
1
(
SSSS
ɍɦɧɨɠɚɹ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɟ
(2) ɧɚ ɡɧɚɤ sign ʌ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɢ ʌ ɢ
ɫɭɦɦɢɪɭɹ ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɟ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɹ ɩɨ ɜɫɟɦ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɚɦ
ʌ, ɩɨɥɭɱɢɦ
ɱɢɫɥɨ, ɤɨɬɨɪɨɟ ɢ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ
ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɟɥɟɦ ɦɚɬɪɢɰɵ A:
¦
S
SSS
S
)5(.aaasignAdet
)n(n)2(2)1(1
26
     ���������� 59. ��������, ��� ��� ������������� n ���������
���� ������������ �� ������ n ����������� ����� � ����������
������������ � �������� ��������� �������� �������� ������.
     ��������: ������� � �������� ���������� �������� �������
������������ e � [ 1, 2 , � , n ].

                         § 2. ������������ � �� ��������

     ���������� ���������� ������� n-�� �������, �� ���� �������
����� � n �������� � n ���������.
     ���� ���������� ����� aij �����, ������������� � i-� ������ �
j-� �������, �� ������� ����� �������� � ��������� ����� ����:

              � a11       a12      � a1 j          �      a1n �
              �a          a22      � a2 j          �      a2 n �
              � 21                                             �
              ��          �        � �             �      ��
            A��                                                �.            (1)
              � ai 1      ai 2     � aij           �      ain �
              ��          �        � �             �      ��
              �                                                �
              � a n1      an 2     � anj           �      ann �

     ������     ����������   �������    �������� ������   ��������
��������������� – ������������� �������, ��� �� ������������� (��
���. determinantis – ������������). ��� �������������� ������������
�������� det A (�������� «����������� A»).
     ����������� 1. ����� � – �����-���� ������������ �����������
����� �� 1 �� n. �������� ������������ n ��������� ������� (1)
���������� ����:

               a1 � ( 1 ) � a2 � ( 2 ) � � � ai � ( i ) � � � an � ( n ) .   (2)

����� ������ ������� (������ �����) �������� ������������������
                            1 2 � i � n,                                 (3)
� ������ ������� (������ ��������) �������� ������������ �:
                � ( 1 ) � ( 2 ) � � ( i ) � � ( n ).                     (4)
      ������� ������������ (2) �� ���� sign � ������������ � �
�������� ���������� ������������ �� ���� ������������� �, �������
�����, ������� � ���������� ������������� ������� A:
             det A � � sign � � a1 � ( 1 ) � a2 � ( 2 ) � � an � ( n ) .  (5)
                         �


                                                  26

Страницы