Избранные вопросы курса геометрии и алгебры. Элементы теории определителей. Перестановки и подстановки. Гудович А.Н. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

ɉɪɢɦɟɪ 2. ɉɪɢ n = 1 ɦɚɬɪɢɰɚ (1) ɫɨɞɟɪɠɢɬ ɥɢɲɶ ɨɞɢɧ ɷɥɟɦɟɧɬ:
>@
)6(,aA
11
ɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɜɫɟɯ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɨɤ ʌ ɫɨɫɬɨɢɬ ɢɡ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɨɣ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɢ
)
7
(
]
,1
[
S
ɩɪɢɱɟɦ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɢ ɱɟɬɧɨɣ:
1
s
ign
S
(ɛɟɫɩɨɪɹɞɤɢ ɜ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɟ (7) ɨɬɫɭɬɫɬɜɭɸɬ, ɬɨ ɟɫɬɶ ɢɦɟɟɬɫɹ ɧɨɥɶ
ɛɟɫɩɨɪɹɞɤɨɜ, ɚ ɧɨɥɶ – ɱɢɫɥɨ ɱɟɬɧɨɟ). ɉɨɷɬɨɦɭ ɮɨɪɦɭɥɚ
(5) ɩɪɢɧɢɦɚɟɬ ɞɥɹ
ɦɚɬɪɢɰɵ
(6) ɜɢɞ:
)8(.aa)1(Adet
1111
ɉɪɢ n=2 ɢɦɟɟɦ ɦɚɬɪɢɰɭ
)9(
aa
aa
A
2221
1211
»
¼
º
«
¬
ª
ɢ ɞɜɟ ɜɨɡɦɨɠɧɵɟ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɢ
)10(].12[],21[
21
SS
ɉɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɚ
1
S
ɱɟɬɧɚɹ, ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɚ
2
S
ɧɟɱɟɬɧɚɹ, ɩɨɷɬɨɦɭ
ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɟɥɶ ɦɚɬɪɢɰɵ
(9) ɪɚɜɟɧ ɜɟɥɢɱɢɧɟ
11 2 2
1 1 ( 1 ) 2 ( 2 ) 2 1 ( 1 ) 2 ( 2 ) 11 22
12 21 11 22 12 21
det A sign a a sign a a ( 1 ) a a ( 1 )
aa aa aa. (11
SS SS
)
SS
u
u
u
ɉɪɢ n=3 ɦɚɬɪɢɰɚ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ
,
aaa
aaa
aaa
A
333231
232221
131211
»
»
»
¼
º
«
«
«
¬
ª
ɚ ɜɨɡɦɨɠɧɵɯ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɨɤ ɲɟɫɬɶ:
]231[
1
S
(ɱɟɬɧɚɹ),
]132[
2
S
(ɧɟɱɟɬɧɚɹ), ]213[
3
S
(ɧɟɱɟɬɧɚɹ), ]231[
4
S
(ɱɟɬɧɚɹ),
]312[
5
S
(ɱɟɬɧɚɹ), ]321[
6
S
(ɧɟɱɟɬɧɚɹ). ɉɨɷɬɨɦɭ
11 1 2 2 2
333 44 4 55
5666
11(1)2(2)3(3) 21(1) 2(2)3(3) 3
1 (1) 2 (2) 3 (3) 4 1 (1) 2 (2) 3 (3) 5 1 (1) 2 (2)
3(3) 6 1(1) 2(2) 3(3)
det A sign a a a sign a a a sign
a a a sign a a a sign a a
asignaaa
SSS S S S
SSS SSS SS
SSSS
SS S
SS
S
u
u
u
11 22 33 12 23 31 12 21 33 12 23 31 13 21 32 13 22
31 11 22 33 12 23 31 13 21 32 11 23 32 12 21 33 13
22 31
aaa aaa aaa aaa aa a aa
aaaaaaaaaaaaaaaaa
aa. (12)
u
u uu
u
u
u
u
Ɂɚɦɟɱɚɧɢɟ 3. ȼɵɪɚɠɟɧɢɹ (8), (11) ɢ (12) ɫɨɜɩɚɞɚɸɬ ɫ ɮɨɪɦɭɥɚɦɢ ɞɥɹ
ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɟɥɟɣ
1-ɝɨ, 2-ɝɨ ɢ 3-ɝɨ ɩɨɪɹɞɤɨɜ, ɤɨɬɨɪɵɟ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɥɢɫɶ ɧɚɦɢ ɜ
27
      ������ 2. ��� n = 1 ������� (1) �������� ���� ���� �������:
                          A � �a11 �,                              (6 )
� ��������� ���� ������������ � ������� �� ������������ ������������
                         � � [ 1 ],                                (7 )
������ ������������ ������:
                               sign � � �1
(���������� � ������������ (7) �����������, �� ���� ������� ����
�����������, � ���� – ����� ������). ������� ������� (5) ��������� ���
������� (6) ���:
                   det A � ( �1 ) � a11 � a11 .                    (8)

      ��� n=2 ����� �������
                        �a     a12 �
                   A � � 11        �                                                                                                (9)
                        �a21 a22 �
� ��� ��������� ������������
               � 1 � [ 1 2 ], � 2 � [ 2 1 ].                                                                                      ( 10 )

������������ � 1 ������, ������������                                           �2         ��������, �������
������������ ������� (9) ����� ��������
det A � sign � 1 � a1� 1 ( 1 ) � a2� 1 ( 2 ) � sign � 2 � a1� 2 ( 1 ) � a2� 2 ( 2 ) � ( �1 ) � a11 � a22 � ( �1 ) �
�a12 � a21 � a11 � a22 � a12 � a21 .                                                                                    ( 11 )
       ��� n=3 ������� ����� ���
                                            � a11 a12 a13 �
                                   A � �a21 a22 a23 � ,
                                            �                         �
                                            ��a31 a32 a33 ��
�       ���������                 ������������                      �����:                 � 1 � [ 1 23 ] (������),
� 2 � [ 132 ] (��������),                   � 3 � [ 213 ] (��������),                      � 4 � [ 231 ] (������),
� 5 � [ 312 ] (������), � 6 � [ 321 ]
(��������). �������
det A � sign � 1 � a1� 1 ( 1 ) � a2� 1 ( 2 ) � a3 � 1 ( 3 ) � sign � 2 � a1� 2 ( 1 ) � a2 � 2 ( 2 ) � a3 � 2 ( 3 ) � sign � 3 �
�a1� 3 ( 1 ) � a2 � 3 ( 2 ) � a3 � 3 ( 3 ) � sign � 4 � a1� 4 ( 1 ) � a2 � 4 ( 2 ) � a3 � 4 ( 3 ) � sign � 5 � a1� 5 ( 1 ) � a2 � 5 ( 2 ) �
�a3 � 5 ( 3 ) � sign � 6 � a1� 6 ( 1 ) � a2 � 6 ( 2 ) � a3 � 6 ( 3 ) �
� � a11 � a22 � a33 � a12 � a23 � a31 � a12 � a21 � a33 � a12 � a23 � a31 � a13 � a21 � a32 � a13 � a22 �
�a31 � a11 � a22 � a33 � a12 � a23 � a31 � a13 � a21 � a32 � a11 � a23 � a32 � a12 � a21 � a33 � a13 �
�a22 � a31 .                                                        ( 12 )
       ��������� 3. ��������� (8), (11) � (12) ��������� � ��������� ���
������������� 1-��, 2-�� � 3-�� ��������, ������� �������������� ���� �
                                                                   27

Страницы