Интегральное исчисление функции одной переменной (неопределенный интеграл). Гулидов A.И - 40 стр.

    Данная подстановка называется универсальной, так как дает
 возможность проинтегрировать всякую функцию вида R(sinx,cosx).
    Однако на практике эта подстановка часто приводит к громоздким
выкладкам и слишком сложным рациональным функциям.
    Укажем случаи, когда цель может быть достигнута с помощью более
простых подстановок.
    а) если выполняется равенство
                  R(-sinx, cosx) = -R(sinx, cosx)
или
                  R(sinx,-cosx) = -R(sinx, cosx),
то выгоднее применять cosx=t в первом случае, a sinx = t - во втором;
    б) если выполняется равенство
                   R(-sinх,-соsх) = R(sinx, cosx)
то выгоднее применять подстановку tg х = t (или ctgx = t) и при этом
используются формулы тригонометрии:




Заметим, что последний случай б) встречается, в частности, в интегралах
типа ∫R(tgx)dx.

    Замечание 1. Часто вместо подстановки            выгоднее


сделать подстановку

    Пример 1. Найти интеграл


   Решение. Применим универсальную тригонометрическую
подстановку. Положив tg(x/2) = t и заменив sinx,cosx и dx по



                                   39