Интегральное исчисление функции одной переменной (неопределенный интеграл). Гулидов A.И - 62 стр.

   § 10. О функциях, интегралы от которых не выражаются через
                 элементарные функции
      Нами было отмечено выше, что любая функция у = f(x), не-
 прерывная на интервале (а, b), имеет на этом интервале первообразную,
 т.е. существует такая функция F(x), что F'(x) = f(x).
      Необходимо, однако, заметить, что не всякая первообразная F(x)
 даже тогда, когда она существует, выражается в конечном виде через
 элементарные функции.
     В § 1-9 мы рассмотрели сравнительно небольшой класс функций, для
 которых интегрирование может быть выполнено в конечном виде. Для
 того чтобы понять этот факт, вспомним

табличный интеграл                '. Интеграл от рациональной
функции не является рациональным, и если бы мы не ввели новую
функцию у = 1пх, то и этот интеграл представлял собой
 функцию у = lnх новой "природы".
     К числу таких заведомо не выражающихся в конечном виде
 интегралов относятся следующие:




 Последние три интеграла называются эллиптическими интегралами 1-го,
2-го и 3-гр рода в форме Лежандра. К этим интегралам привели задачи о
спрямлении эллипса. Первые два интеграла содержат один параметр k, а
в последний входят два параметра k и h, при этом h является комплексным
числом.



                                  61