Элементы общей топологии. Гумеров Р.Н. - 12 стр.

   1.3.   oPREDELENIQ pUSTX f : (X d) ;! (Y ) | OTOBRAVENIE MEVDU
                       .
METRI^ESKIMI PROSTRANSTWAMI. |TO OTOBRAVENIE NAZYWAETSQ
    IZOMETRI^ESKIM, ESLI (f (x) f (y)) = d(x y) DLQ WSEH x y 2 X 
    IZOMETRIEJ, ESLI ONO QWLQETSQ IZOMETRI^ESKIM I BIEKTIWNYM
    NEPRERYWNYM W TO^KE x0 2 X , ESLI DLQ L@BOGO " > 0 SU]ESTWUET
     TAKOE > 0 ^TO DLQ L@BYH x 2 X UDOWLETWORQ@]IH USLOWI@
     d(x0  x) <  WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO (f (x0 ) f (x)) < "
    NEPRERYWNYM, ESLI ONO QWLQETSQ NEPRERYWNYM W KAVDOJ TO^KE PRO-
     STRANSTWA X 
    RAWNOMERNO NEPRERYWNYM, ESLI DLQ L@BOGO " > 0 SU]ESTWUET TAKOE
       > 0 ^TO DLQ L@BYH x y 2 X UDOWLETWORQ@]IH USLOWI@ d(x y) <
       WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO (f (x) f (y)) < ":
   1.4.   oPREDELENIE eSLI MEVDU DWUMQ METRI^ESKIMI PROSTRANSTWA-
                       .
MI SU]ESTWUET IZOMETRIQ, TO \TI PROSTRANSTWA NAZYWA@TSQ IZOMETRI^-
NYMI.
   1.5. zAME^ANIE. s TO^KI ZRENIQ TEORII METRI^ESKIH PROSTRANSTW
IZOMETRI^NYE PROSTRANSTWA NE RAZLI^A@TSQ. sOWOKUPNOSTX WSEH METRI-
^ESKIH PROSTRANSTW RASPADAETSQ NA KLASSY \KWIWALENTNOSTI, OBRAZOWAN-
NYE POPARNO IZOMETRI^NYMI PROSTRANSTWAMI. sWOJSTWO METRI^ESKOGO
PROSTRANSTWA, KOTORYM TAKVE OBLADAET KAVDOE IZOMETRI^NOE EMU MET-
RI^ESKOE PROSTRANSTWO, NAZYWAETSQ METRI^ESKIM INWARIANTOM.
   1.6. oPREDELENIQ. pUSTX (X d) | METRI^ESKOE PROSTRANSTWO . pOD-
MNOVESTWO O X NAZYWAETSQ OTKRYTYM W X , ESLI DLQ WSQKOJ TO^KI
x 2 O NAJDETSQ " > 0, DLQ KOTOROGO B"(x) O. mY OBOZNA^AEM ^EREZ d
SEMEJSTWO WSEH OTKRYTYH MNOVESTW PROSTRANSTWA (X d). pODMNOVESTWO
PROSTRANSTWA X NAZYWAETSQ ZAMKNUTYM, ESLI DOPOLNENIE \TOGO PODMNO-
VESTWA W X QWLQETSQ OTKRYTYM MNOVESTWOM.
   1.7. uPRAVNENIE. l@BOJ OTKRYTYJ (ZAMKNUTYJ) AR PROIZWOLX-
NOGO METRI^ESKOGO PROSTRANSTWA QWLQETSQ OTKRYTYM (ZAMKNUTYM) MNO-
VESTWOM W \TOM PROSTRANSTWE.
   nEPOSREDSTWENNO PROWERQETSQ, ^TO IMEET MESTO
   1.8. tEOREMA (O SWOJSTWE OTKRYTYH MNOVESTW). sEMEJSTWO OT-
KRYTYH MNOVESTW PROIZWOLXNOGO METRI^ESKOGO PROSTRANSTWA OBLADA-
ET SLEDU@]IMI SWOJSTWAMI:
                                  12