Элементы общей топологии. Гумеров Р.Н. - 13 стр.

O1)   pUSTOE MNOVESTWO I SAMO PROSTRANSTWO QWLQ@TSQ OTKRYTYMI
      MNOVESTWAMI
O2)   pERESE^ENIE L@BOGO KONE^NOGO SEMEJSTWA OTKRYTYH MNOVESTW
      QWLQETSQ OTKRYTYM MNOVESTWOM
O3)   oB_EDINENIE L@BOGO SEMEJSTWA OTKRYTYH MNOVESTW QWLQETSQ
      OTKRYTYM MNOVESTWOM.

    mNOGIE SWOJSTWA METRI^ESKIH PROSTRANSTW I OTOBRAVENIJ MEVDU NI-
MI FORMULIRU@TSQ W TERMINAH OTKRYTYH MNOVESTW. nAPRIMER, OTOBRA-
VENIE f : (X d) ;! (Y ) QWLQETSQ NEPRERYWNYM TOGDA I TOLXKO TOGDA,
KOGDA PROOBRAZ KAVDOGO OTKRYTOGO MNOVESTWA IZ  PRINADLEVIT SEMEJ-
STWU d .
    1.9. oPREDELENIE. dWE METRIKI d1 I d2 NA MNOVESTWE X NAZYWA@TSQ
\KWIWALENTNYMI, ESLI d1 = d2 :
    1.10. uPRAVNENIE. nA MNOVESTWE R METRIKI d1 , d2 I d1 (SM. PRI-
                                          2
MER 1.2.3) \KWIWALENTNY, T.E. SEMEJSTWA OTKRYTYH MNOVESTW d1 , d2 I d1
SOWPADA@T.
    sLEDU@]EE UTWERVDENIE QWLQETSQ UDOBNYM KRITERIEM PROWERKI \K-
WIWALENTNOSTI METRIK.
    1.11. tEOREMA. dWE METRIKI d1 I d2 NA MNOVESTWE X QWLQ@TSQ
\KWIWALENTNYMI TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA ONI INDUCIRU@T ODNU I
TU VE SHODIMOSTX, T. E. DLQ L@BOJ TO^KI x 2 X I L@BOJ POSLEDOWA-
TELXNOSTI x1  x2  : : : TO^EK MNOVESTWA X USLOWIQ n;lim
                                                       !1 d1(xn  x) = 0 I
  !1 d2(xn x) = 0 RAWNOSILXNY.
 lim
n;
    w SWQZI S \TIM NAPOMNIM
    1.12. oPREDELENIQ. pOSLEDOWATELXNOSTX TO^EK x1  x2  : : : METRI^ES-
KOGO PROSTRANSTWA (X d) NAZYWAETSQ SHODQ]EJSQ K TO^KE x 2 X , ESLI
POSLEDOWATELXNOSTX DEJSTWITELXNYH ^ISEL d(x x1 ) d(x x2) : : : SHODITSQ
K NUL@. w \TOM SLU^AE TO^KA x NAZYWAETSQ PREDELOM UKAZANNOJ POSLEDO-
WATELXNOSTI TO^EK.
    1.13. zAME^ANIE. iZ USLOWIJ (M1) I (M3) OPREDELENIQ 1.1 WYTEKAET,
^TO WSQKAQ POSLEDOWATELXNOSTX TO^EK W METRI^ESKOM PROSTRANSTWE MOVET
IMETX NE BOLEE ODNOGO PREDELA.

                                   13