Элементы общей топологии. Гумеров Р.Н. - 20 стр.

   2.20.   uTWERVDENIE mNOVESTWO ZAMKNUTO TOGDA I TOLXKO TOGDA
                       .                                              ,
KOGDA ONO SOWPADAET SO SWOIM ZAMYKANIEM.
   2.21. uTWERVDENIE. eSLI A        B , TO A B .
   2.22. tEOREMA. A = A  A :
                              0
   dOKAZATELXSTWO. tAK KAK A AA0  TO, W SILU PREDYDU]EGO UTWERV-
DENIQ, A A  A0. nO MNOVESTWO A  A0 ZAMKNUTO (SM.2.15). pO\TOMU ONO
SOWPADAET SO SWOIM ZAMYKANIEM. sLEDOWATELXNO, A A  A0.
   dLQ DOKAZATELXSTWA OBRATNOGO WKL@^ENIQ SPERWA ZAMETIM, ^TO A A,
I POKAVEM, ^TO A0 A. dEJSTWITELXNO, ESLI TO^KA x PRINADLEVIT PRO-
IZWODNOMU MNOVESTWU A0 , TO ONA QWLQETSQ PREDELXNOJ TO^KOJ WSQKOGO MNO-
VESTWA, KOTOROE SODERVIT A. pO\TOMU (SM. 2.14) TO^KA x PRINADLEVIT
KAVDOMU ZAMKNUTOMU MNOVESTWU, SODERVA]EMU A, A POTOMU ONA PRINAD-
LEVIT I MNOVESTWU A.
   2.23. sLEDSTWIE. tO^KA x PRINADLEVIT A TOGDA I TOLXKO TOGDA,
KOGDA DLQ L@BOJ OKRESTNOSTI O TO^KI x MNOVESTWO O \ A NEPUSTO,
TO ESTX A SOWPADAET S MNOVESTWOM WSEH TO^EK PRIKOSNOWENIQ MNO-
VESTWA A.
   2.24. tEOREMA. sPRAWEDLIWY SLEDU@]IE SWOJSTWA:


      1) A = A      2) A  B = A  B       3) A \ B     A \ B:
   dOKAZATELXSTWO. pERWOE SWOJSTWO WYTEKAET IZ TOGO, ^TO ZAMYKANIE
WSQKOGO MNOVESTWA ZAMKNUTO.
   dALEE, TAK KAK A B A  B , TO A B A  B . pO\TOMU
                           A  B A  B:
   tEPERX W OBRATNU@ STORONU. pOSKOLXKU A A I B B , TO A  B
A  B: nO POSLEDNEE MNOVESTWO ZAMKNUTO KAK OB_EDINENIE DWUH ZAMKNU-
TYH MNOVESTW. oTS@DA, PO OPREDELENI@ ZAMYKANIQ, POLU^AEM OBRATNOE
WKL@^ENIE
                           A  B A  B:
iZ POLU^ENNYH WKL@^ENIJ SLEDUET SWOJSTWO 2).
   nAKONEC, DLQ DOKAZATELXSTWA TRETXEGO SWOJSTWA ZAMETIM, ^TO MNOVES-
TWO A \ B SODERVITSQ I W A I W B . oTS@DA ZAKL@^AEM, ^TO A \ B QWLQ-
ETSQ PODMNOVESTWOM I A I B . iNYMI SLOWAMI, IMEET MESTO WKL@^ENIE
A \ B A \ B:


                                  20