Элементы общей топологии. Гумеров Р.Н. - 37 стр.

   5.   sWQZNYE PROSTRANSTWA
   pONQTIE SWQZNOGO TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA PREDSTAWLQET SOBOJ
MATEMATI^ESKU@ FORMALIZACI@ NAEGO INTUITIWNOGO PREDSTAWLENIQ O
NERAZDELENNOSTI GEOMETRI^ESKOJ FIGURY. |TO PONQTIE IGRAET O^ENX WAV-
NU@ ROLX KAK W SAMYH RAZNOOBRAZNYH WOPROSAH TOPOLOGII, TAK I W E< MNO-
GO^ISLENNYH PRILOVENIQH. nAPRIMER, IZ KURSA MATEMATI^ESKOGO ANALI-
ZA NAM IZWESTNA TEOREMA O PROMEVUTO^NYH ZNA^ENIQH NEPRERYWNOJ NA
OTREZKE FUNKCII. |TOT REZULXTAT MOVNO RASSMATRIWATX NE TOLXKO KAK
SWOJSTWO NEPRERYWNOJ FUNKCII, NO I KAK SWOJSTWO TOPOLOGII OTREZKA. a
IMENNO, SWQZNOSTX OTREZKA QWLQETSQ SU]ESTWENNYM TOPOLOGI^ESKIM SWOJ-
STWOM W DOKAZATELXSTWE UKAZANNOJ TEOREMY.
   5.1.   oPREDELENIQ. tOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO NAZYWAETSQ
SWQZNYM, ESLI EGO NELXZQ PREDSTAWITX W WIDE OB_EDINENIQ DWUH NEPUS-
TYH OTDELENNYH PODMNOVESTW. pROSTRANSTWO, NE QWLQ@]EESQ SWQZNYM,
NAZYWAETSQ NESWQZNYM.
   5.2. pRIMERY. 1) oDNOTO^E^NOE PROSTRANSTWO SWQZNO. 2) aNTIDIS-
KRETNOE TOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO SWQZNO. 3) dISKRETNOE TOPOLOGI-
^ESKOE PROSTRANSTWO, SODERVA]EE PO KRAJNEJ MERE DWE RAZLI^NYE TO^KI,
NESWQZNO.
   5.3. tEOREMA. dLQ PROIZWOLXNOGO TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA
(X ) SLEDU@]IE USLOWIQ RAWNOSILXNY:
  1) PROSTRANSTWO X SWQZNO
  2) X NELXZQ PREDSTAWITX W WIDE OB_EDINENIQ DWUH NEPUSTYH
     NEPERESEKA@]IHSQ OTKRYTYH (ZAMKNUTYH) PODMNOVESTW
  3) PUSTOE MNOVESTWO I WSE PROSTRANSTWO | EDINSTWENNYE OTKRYTO{
     ZAMKNUTYE MNOVESTWA W PROSTRANSTWE X .
   dOKAZATELXSTWO. dOKAVEM, ^TO SWQZNOSTX PROSTRANSTWA \KWIWALENT-
NA TOMU, ^TO EGO NELXZQ PREDSTAWITX W WIDE OB_EDINENIQ DWUH NEPUSTYH
NEPERESEKA@]IHSQ OTKRYTYH MNOVESTW. oSTALXNOE NEMEDLENNO WYTEKAET
IZ \TOGO FAKTA.
   1) =) 2): pREDPOLAGAQ PROTIWNOE, TO ESTX, ^TO X = O1  O2 GDE
O1 \ O2 = ?, Oi 2 , Oi 6= ?, i = 1 2 POLU^AEM PROTIWORE^IE, TAK KAK
NEPERESEKA@]IESQ NEPUSTYE OTKRYTYE MNOVESTWA OTDELENY.
   2) =) 1): pREDPOLOVIM, ^TO X = A  B , GDE A B 6= ? A \ B = ? =
A \ B: tOGDA, S ODNOJ STORONY, CB A = CB , A, S DRUGOJ STORONY, RA-
WENSTWO A \ B = ? WLE^ET WKL@^ENIE A CB: sLEDOWATELXNO, A = CB:
                                 37