Элементы общей топологии. Гумеров Р.Н. - 38 стр.

aNALOGI^NO USTANAWLIWAETSQ RAWENSTWO B = CA: tAKIM OBRAZOM, A I B
OTKRYTYE DIZ_@NKTNYE MNOVESTWA. pOLU^ENNOE PROTIWORE^IE DOKAZY-
WAET UKAZANNU@ IMPLIKACI@.
    5.4. uPRAVNENIE. iSPOLXZUQ POSLEDNEE UTWERVDENIE TEOREMY 5.3,
DOKAVITE SWQZNOSTX PROSTRANSTWA R 1 :
    5.5. oPREDELENIE. pODMNOVESTWO Y PROSTRANSTWA (X ) NAZYWAETSQ
SWQZNYM, ESLI PROSTRANSTWO (Y Y ) QWLQETSQ SWQZNYM.
    5.6. pRIMERY. 1) wO WSQKOM PROSTRANSTWE PUSTOE MNOVESTWO I ODNO-
TO^E^NOE PODMNOVESTWO SWQZNY. 2) pODMNOVESTWO SWQZNOGO PROSTRANSTWA
MOVET I NE BYTX SWQZNYM. tAKOWYM, NAPRIMER, QWLQETSQ PODMNOVEST-
WO Y = (0 1)  (2 3) W SWQZNOM PROSTRANSTWE R 1 . 3) pROMEVUTKOM W R 1
NAZOWEM L@BOE IZ SLEDU@]IH MNOVESTW: SAMU PRQMU@, OTREZOK a b], IN-
TERWAL (a b), POLUINTERWALY a b) I (a b], W TOM ^ISLE I BESKONE^NYE
(T.E. LU^I). l@BOJ PROMEVUTOK SWQZEN, I WSQKOE SWQZNOE MNOVESTWO W R 1
QWLQETSQ PROMEVUTKOM.
    5.7. tEOREMA. pODMNOVESTWO Y TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA
(X ) SWQZNO TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA IZ TOGO, ^TO Y = X1  X2,
GDE X1 X2 | OTDELENNYE PODMNOVESTWA PROSTRANSTWA X , SLEDUET,
^TO SREDI MNOVESTW X1  X2 ESTX PUSTOE MNOVESTWO.
    dOKAZATELXSTWO. pREDPOLOVIM, ^TO Y SWQZNO I Y = X1  X2, GDE
X1  X2 OTDELENY W X . tOGDA MNOVESTWA X1 I X2 QWLQ@TSQ OTDELENNYMI   I
W (Y Y ): dEJSTWITELXNO, PO TEOREME 4.7, IMEEM RAWENSTWA Xi = Y \ Xi 
                                                            Y        X
GDE i = 1 2 PO\TOMU, NAPRIMER,
             X1Y \ X2 = (X1X \ Y ) \ X2 = (X1X \ X2) \ Y = ?:
zNA^IT, PO OPREDELENI@ SWQZNOGO PODMNOVESTWA, LIBO X1, LIBO X2 PUSTO.
    w OBRATNU@ STORONU. pREDPOLOVIM, ^TO PROSTRANSTWO (Y Y ) NESWQZ-
NO. w SILU TEOREMY 5.3, SU]ESTWUET TAKAQ PARA X1 X2 NEPERESEKA@]IHSQ
NEPUSTYH ZAMKNUTYH PODMNOVESTW PROSTRANSTWA Y , ^TO Y = X1  X2 . pO
TEOREME 4.14 MNOVESTWA X1 I X2 OTDELENY W PROSTRANSTWE X . pOLU^A-
EM, ^TO USLOWIE TEOREMY NE WYPOLNQETSQ. zNA^IT, NAE PREDPOLOVENIE
NEWERNO, I Y SWQZNO.
    5.8. sLEDSTWIE. eSLI Y | SWQZNOE PODMNOVESTWO PROSTRANSTWA
X , SODERVA]EESQ W OB_EDINENII DWUH OTDELENNYH PODMNOVESTW X1 I
X2 PROSTRANSTWA X , TO LIBO Y X1 , LIBO Y X2 .
    dOKAZATELXSTWO. qSNO, ^TO MNOVESTWA Y \ X1 I Y \ X2 OTDELENY W X
I IH OB_EDINENIE SOWPADAET S Y . pO TEOREME 5.7 ODNO IZ \TIH MNOVESTW
PUSTO, A, SLEDOWATELXNO, Y CELIKOM LEVIT W DRUGOM IZ NIH.
                                  38