Элементы общей топологии. Гумеров Р.Н. - 47 стр.

   7.   sHODIMOSTX W TOPOLOGI^ESKIH PROSTRANSTWAH
    kAK IZWESTNO, FUNDAMENTALXNYE PONQTIQ I KONSTRUKCII MATEMATI-
^ESKOGO ANALIZA OSNOWANY NA PONQTII SHODIMOSTI.
    |TOT RAZDEL POSWQ]EN TEORII SHODIMOSTI W PROIZWOLXNYH TOPOLOGI-
^ESKIH PROSTRANSTWAH W TERMINAH NAPRAWLENNOSTEJ. pONQTIE SHODQ]EJSQ
POSLEDOWATELXNOSTI SOSTAWLQET OSNOWU, NA KOTOROJ STROITSQ \TA TEORIQ.
dLQ TOPOLOGI^ESKIH PROSTRANSTW, ANALOGI^NO TOMU, KAK \TO DELAETSQ DLQ
METRI^ESKIH PROSTRANSTW, MOVNO WWESTI PONQTIE SHODQ]EJSQ POSLEDOWA-
TELXNOSTI. pRI \TOM OKAZYWAETSQ, ^TO SWOJSTWA POSLEDOWATELXNOSTEJ W
OB]IH TOPOLOGI^ESKIH PROSTRANSTWAH MOGUT SU]ESTWENNO OTLI^ATXSQ OT
SWOJSTW POSLEDOWATELXNOSTEJ W METRI^ESKIH PROSTRANSTWAH. |TO PRIWO-
DIT K NEOBHODIMOSTI OBOB]ENIQ PONQTIQ POSLEDOWATELXNOSTI, A IMENNO,
K RASSMOTRENI@ NAPRAWLENNOSTEJ | FUNKCIJ, ZADANNYH NA PROIZWOLX-
NYH NAPRAWLENNYH MNOVESTWAH ( A NE TOLXKO NA MNOVESTWE NATURALXNYH
^ISEL).
    7.1. oPREDELENIE. fUNKCIQ f , ZADANNAQ NA MNOVESTWE NATURALX-
NYH ^ISEL N I PRINIMA@]AQ ZNA^ENIQ W TOPOLOGI^ESKOM PROSTRANSTWE
(X ), NAZYWAETSQ POSLEDOWATELXNOSTX@ W X . mY BUDEM ^ASTO PISATX
xn WMESTO f (n) I OBOZNA^ATX \TU POSLEDOWATELXNOSTX SIMWOLOM (xn)n2N
ILI PROSTO (xn).
    7.2. oPREDELENIQ. pOSLEDOWATELXNOSTX (xn ) TO^EK X SHODITSQ K
TO^KE x0 2 X , ESLI WSQKAQ OKRESTNOSTX TO^KI x0 SODERVIT, NA^INAQ S
NEKOTOROGO NOMERA, WSE TO^KI POSLEDOWATELXNOSTI (xn ). pRI \TOM TO^KA
x0 NAZYWAETSQ PREDELOM POSLEDOWATELXNOSTI (xn).
    7.3. zAME^ANIE. w PROIZWOLXNOM TOPOLOGI^ESKOM PROSTRANSTWE PO-
SLEDOWATELXNOSTX MOVET SHODITXSQ KO MNOGIM TO^KAM.
    7.4. pRIMERY. 1) w ANTIDISKRETNOM TOPOLOGI^ESKOM PROSTRANSTWE
L@BAQ POSLEDOWATELXNOSTX EGO TO^EK SHODITSQ K L@BOJ TO^KE \TOGO PRO-
STRANSTWA. 2) rASSMOTRIM MNOVESTWO R S TOPOLOGIEJ zARISSKOGO (SM.
2.2.4). pOLOVIM xn = n DLQ KAVDOGO ^ISLA n 2 N . lEGKO WIDETX, ^TO (xn)
SHODITSQ K L@BOJ TO^KE PROSTRANSTWA.
    7.5. zAME^ANIE. pUSTX A | PODMNOVESTWO PROSTRANSTWA (X ) I
PUSTX SU]ESTWUET POSLEDOWATELXNOSTX (xn ) W X , SHODQ]AQSQ K x0 2 X ,
I TAKAQ, ^TO xn 2 A DLQ KAVDOGO n 2 N . o^EWIDNO, ^TO W \TOM SLU^AE
x0 QWLQETSQ TO^KOJ PRIKOSNOWENIQ MNOVESTWA A, TO ESTX PRINADLEVIT
ZAMYKANI@ \TOGO MNOVESTWA. eSLI X | METRI^ESKOE PROSTRANSTWO, TO
SPRAWEDLIWO I OBRATNOE UTWERVDENIE. a IMENNO, ESLI x0 2 A TO SU-
                                  47