Элементы общей топологии. Гумеров Р.Н. - 45 стр.

OKRESTNOSTI U SU]ESTWUET TAKAQ OKRESTNOSTX V TO^KI x, ^TO
V U.
   dOKAZATELXSTWO. pREDPOLOVIM, ^TO X REGULQRNO I TO^KA x S OKREST-
NOSTX@ U ZADANY. mNOVESTWO A := X n U ZAMKNUTO I x 2= A. pO\TOMU
NAJDUTSQ TAKIE OTKRYTYE MNOVESTWA V (x) I W (A), ^TO V (x)\W (A) = ?.
   o^EWIDNO, ^TO V (x) X n W (A) I
                    V (x) X n W (A) = X n W (A):
tOGDA V (x) \ W (A) = ? =) V (x) \ A = ? =) V (x) U .
    dLQ DOKAZATELXSTWA OBRATNOGO UTWERVDENIQ PREDPOLOVIM, ^TO
x 2 X , MNOVESTWO A ZAMKNUTO, x 2= A I U := X n A. o^EWIDNO, ^TO
U { OKRESTNOSTX TO^KI x. pO USLOWI@ NAJDETSQ TAKOJ \LEMENT V (x) 2 
^TO V (x) U . qSNO, ^TO V (x) I X n V (x) ISKOMYE OKRESTNOSTI TO^KI x
I MNOVESTWA A SOOTWETSTWENNO.
    6.15.  oPREDELENIE. tOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO NAZYWAETSQ
NORMALXNYM, ESLI ONO UDOWLETWORQET AKSIOMAM T1 I T4 .
    6.16. zAME^ANIQ. 1) iZ AKSIOMY T4 NE SLEDUET AKSIOMA T1 . pRIME-
ROM SLUVIT SLIPEESQ DWOETO^IE. tAKIM OBRAZOM, ONO NE QWLQETSQ NOR-
MALXNYM. 2) iZ AKSIOMY T4 NE SLEDUET AKSIOMA T3 . dEJSTWITELXNO, PUSTX
X := f1 2 3g A := f? X f1gg. dLQ \TOGO PROSTRANSTWA IMEEM WSEGO
DWE PARY NEPERESEKA@]IHSQ ZAMKNUTYH MNOVESTW: f? X g I f? f2 3gg:
oTS@DA LEGKO WIDETX, ^TO (X ) | T4 {PROSTRANSTWO. nO DLQ TO^KI 1 I ZA-
MKNUTOGO MNOVESTWA f2 3g NEPERESEKA@]IHSQ OKRESTNOSTEJ NET, TO ESTX
(X ) NE QWLQETSQ T3{PROSTRANSTWOM. 3) l@BOE NORMALXNOE PROSTRANST-
WO REGULQRNO. oBRATNOE UTWERVDENIE, WOOB]E GOWORQ, NEWERNO. nAPRIMER,
PLOSKOSTX nEMYCKOGO (SM. 3.27.1) { REGULQRNOE PROSTRANSTWO, NE QWLQ@-
]EESQ NORMALXNYM.
    6.17. pRIMER. dISKRETNOE PROSTRANSTWO NORMALXNO.


    6.18. tEOREMA. kAVDOE METRI^ESKOE PROSTRANSTWO NORMALXNO.
    dOKAZATELXSTWO. wO-PERWYH, WSQKOE METRI^ESKOE PROSTRANSTWO (X d)
HAUSDORFOWO, A, ZNA^IT, ONO QWLQETSQ T1{ PROSTRANSTWOM.
    wO-WTORYH, POKAVEM, ^TO W (X d) WYPOLNQETSQ AKSIOMA T4 . dLQ \TOGO
W PROSTRANSTWE X RASSMOTRIM DIZ_@NKTNYE ZAMKNUTYE PODMNOVESTWA
A I B . dALEE, DLQ KAVDOJ TO^KI a 2 A I KAVDOJ TO^KI b 2 B WYBEREM
SOOTWETSTWENNO TAKIE POLOVITELXNYE ^ISLA r(a) I r(b) ^TO
                 Br(a) (a) \ B = ? I Br(b) (b) \ A = ?:

                                  45