Элементы общей топологии. Гумеров Р.Н. - 44 стр.

 OKRESTNOSTX@ TO^KI y I (X n O) \ O = ?:
     6.9. uPRAVNENIE. mETRI^ESKOE PROSTRANSTWO HAUSDORFOWO.


     dLQ PROWERKI OTDELIMOSTI TOPOLOGII, POROVDENNOJ LOKALXNYMI BA-
 ZAMI, UDOBNO ISPOLXZOWATX SLEDU@]EE LEGKO PROWERQEMOE UTWERVDENIE.
     6.10. tEOREMA. pUSTX DANY MNOVESTWO X I NABOR f (x) : x 2 X g
 SEMEJSTW EGO PODMNOVESTW, OBLADA@]IJ SWOJSTWAMI (BP1) { (BP3).
 pUSTX, WDOBAWOK, NABOR f (x) : x 2 X g OBLADAET SWOJSTWOM
(BP4) dLQ KAVDOJ PARY RAZLI^NYH TO^EK x y 2 X SU]ESTWU@T NEPERE-
        SEKA@]IESQ OKRESTNOSTI U 2  (x) I V 2  (y).
 tOGDA PROSTRANSTWO X , NADELENNOE TOPOLOGIEJ, POROVDENNOJ SISTE-
 MOJ OKRESTNOSTEJ f (x) : x 2 X g, HAUSDORFOWO.
     6.11. oPREDELENIE. tOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO NAZYWAETSQ REGU-
 LQRNYM, ESLI ONO UDOWLETWORQET AKSIOMAM T1 I T3 .
     6.12. zAME^ANIQ. 1) iZ AKSIOMY T3 NE SLEDUET AKSIOMA T1 . ~TOBY
 UBEDITXSQ W \TOM, DOSTATO^NO RASSMOTRETX ANTIDISKRETNOE TOPOLOGI^ES-
 KOE PROSTRANSTWO, SODERVA]EE PO KRAJNEJ MERE DWE TO^KI. 2) l@BOE RE-
 GULQRNOE PROSTRANSTWO HAUSDORFOWO. oBRATNOE, WOOB]E GOWORQ, NEWERNO.
     6.13. pRIMER. 1) dISKRETNOE TOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO REGULQR-
 NO. 2) zADADIM W R TOPOLOGI@ S POMO]X@ SISTEMY OKRESTNOSTEJ, KOTORAQ
 OPREDELQETSQ SLEDU@]IM OBRAZOM.
     pUSTX A := f1=n : n 2 N g I PUSTX On(x) := (x ; 1=n x + 1=n) R
 DLQ L@BYH x 2 R I n 2 N : dLQ TO^KI x 2 R  OTLI^NOJ OT NULQ, POLOVIM
  (x) := fOn(x) : n 2 N g, A  (0) := fOn(x) n A : n 2 N g:
     nETRUDNO PROWERITX, ^TO NABOR f (x) : x 2 R g OBLADAET SWOJSTWAMI
 (BP1){(BP4) (SM. 3.25 I 6.10). sLEDOWATELXNO, MNOVESTWO R, NADELENNOE
 TOPOLOGIEJ, POROVDENNOJ SISTEMOJ OKRESTNOSTEJ f (x) : x 2 R g QWLQETSQ
 HAUSDORFOWYM TOPOLOGI^ESKIM PROSTRANSTWOM. mNOVESTWO A ZAMKNUTO W
 \TOM PROSTRANSTWE I NE SODERVIT TO^KU 0. l@BYE OKRESTNOSTI MNOVESTWA
 A I TO^KI 0 PERESEKA@TSQ. zNA^IT, RASSMATRIWAEMOE PROSTRANSTWO NE
 QWLQETSQ REGULQRNYM.
     pRIWODIMYJ NIVE KRITERIJ ^ASTO OKAZYWAETSQ POLEZNYM DLQ USTA-
 NOWLENIQ REGULQRNOSTI IZU^AEMOGO PROSTRANSTWA.
     6.14. tEOREMA. T1 {PROSTRANSTWO (X ) REGULQRNO TOGDA I TOLX-
 KO TOGDA, KOGDA DLQ WSQKOJ TO^KI x \TOGO PROSTRANSTWA I L@BOJ EE

                                    44