Элементы общей топологии. Гумеров Р.Н. - 43 стр.

   6.5.   tEOREMA tOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO X QWLQETSQ T1 PROST
                  .                                         {       -
RANSTWOM TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA DLQ KAVDOJ TO^KI x 2 X MNO-
VESTWO fxg ZAMKNUTO W X .
   dOKAZATELXSTWO. pUSTX X | T1{PROSTRANSTWO I x 2 X . wOZXMEM
PROIZWOLXNU@ TO^KU y 2 X , OTLI^NU@ OT x. pOSKOLXKU TO^KA y OBLADA-
ET OKRESTNOSTX@, NE SODERVA]EJ x, TO y NE QWLQETSQ PREDELXNOJ TO^KOJ
MNOVESTWA fxg. pO\TOMU fxg ZAMKNUTO W X .
   oBRATNOE UTWERVDENIE SLEDUET IZ TOGO, ^TO MNOVESTWA X n fxg I
X n fyg QWLQ@TSQ OKRESTNOSTQMI SOOTWETSTWENNO TO^EK y I x.
   6.6. uPRAVNENIQ O T1 {PROSTRANSTWAH.
   1) tOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO X QWLQETSQ T1{PROSTRANSTWOM TOG-
DA I TOLXKO TOGDA, KOGDA DLQ KAVDOJ TO^KI x 2 X PERESE^ENIE WSEH
E< OKRESTNOSTEJ SOWPADAET S MNOVESTWOM fxg. 2) w KAVDOJ OKRESTNOSTI
L@BOJ PREDELXNOJ TO^KI PODMNOVESTWA T1 {PROSTRANSTWA SODERVITSQ BES-
KONE^NOE ^ISLO TO^EK \TOGO PODMNOVESTWA. 3) kONE^NOE MNOVESTWO TO^EK
ZAMKNUTO. 4) tO^KA x NEKOTOROGO PODMNOVESTWA PROSTRANSTWA QWLQETSQ
IZOLIROWANNOJ TO^KOJ \TOGO PODMNOVESTWA W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE,
ESLI MNOVESTWO fxg OTKRYTO W \TOM PODMNOVESTWE. 5) pROIZWODNOE MNO-
VESTWO L@BOGO PODMNOVESTWA ZAMKNUTO.
    6.7. oPREDELENIQ. tOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO NAZYWAETSQ OTDE-
LIMYM ILI HAUSDORFOWYM, ESLI ONO UDOWLETWORQET AKSIOME T2 . sOOTWET-
STWENNO TOPOLOGI@ TAKOGO PROSTRANSTWA NAZYWA@T OTDELIMOJ ILI HAUS-
DORFOWOJ.
    6.8. tEOREMA. tOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO (X ) HAUSDORFOWO TOG-
DA I TOLXKO TOGDA, KOGDA DLQ WSQKOJ TO^KI x 2 X PERESE^ENIE ZAMYKA-
NIJ WSEH EE OKRESTNOSTEJ SOWPADAET S MNOVESTWOM fxg.
    dOKAZATELXSTWO. pUSTX x | PROIZWOLXNAQ TO^KA HAUSDORFOWA PRO-
                                                 T
STRANSTWA X I fO
 : 
 2 g | SEMEJSTWO WSEH OKRESTNOSTEJ  \TOJ TO^KI.
tAK KAK x 2 O
 O
 DLQ KAVDOGO 
 2 , TO x 2 fO
 : 
 2 g. pO-
KAVEM, ^TO NI ODNA TO^KA PROSTRANSTWA X , OTLI^NAQ OT SAMOJ TO^KI x,
                                     T
NE PRINADLEVIT \TOMU PERESE^ENI@. dEJSTWITELXNO   , PREDPOLOVIM PRO-
TIWNOE. pUSTX SU]ESTWUET TO^KA y 2 fO
 : 
 2 g I y 6= x. w SILU
OTDELIMOSTI TOPOLOGII MOVNO WYBRATX OKRESTNOSTX U TO^KI y I IN-
zNA^IT, fxg = TfO
 : 
 2 g.
DEKS  2  TAKIE, ^TO U \ O = ?: pO\TOMU y 2= O . pROTIWORE^IE.
       T
   tEPERX  PUSTX x I y | DWE RAZLI^NYE TO^KI PROSTRANSTWA X I PUSTX
fxg = fO
 : 
 2 g, GDE fO
 : 
 2 g | SEMEJSTWO WSEH OKRESTNOSTEJ
TO^KI x. qSNO, ^TO SU]ESTWUET TAKOJ INDEKS  2  ^TO y 2= O. iZ
\TOGO SLEDUET, ^TO y 2= O. o^EWIDNO, ^TO MNOVESTWO X n O QWLQETSQ
                                 43