Элементы общей топологии. Гумеров Р.Н. - 53 стр.

ET MNOVESTWO ;. s@R_EKTIWNAQ FUNKCIQ ' : ; ;!  : (
 U ) 7! 
 QWLQETSQ
NEUBYWA@]EJ. pO\TOMU (SM. 7.21) NAPRAWLENNOSTX T = fx(
U ) : (
 U ) 2
;g QWLQETSQ PODNAPRAWLENNOSTX@ S . lEGKO WIDETX, ^TO T SHODITSQ K x.
   oBRATNO, PUSTX x | PREDEL NEKOTOROJ PODNAPRAWLENNOSTI. eSLI x NE
QWLQETSQ PREDELXNOJ TO^KOJ NAPRAWLENNOSTI S , TO SU]ESTWU@T OKREST-
NOSTX U TO^KI x I 
 2 , TAKIE, ^TO x 2= U PRI   
. qSNO, ^TO, W \TOM
SLU^AE, NIKAKAQ PODNAPRAWLENNOSTX NE SHODITSQ K x.
   7.25. uPRAVNENIQ. 1) pREDELXNAQ TO^KA POSLEDOWATELXNOSTI, WOOB-
]E GOWORQ, NE QWLQETSQ PREDELOM NEKOTOROJ EE PODPOSLEDOWATELXNOSTI.
2) pUSTX TOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO UDOWLETWORQET PERWOJ AKSIOME
S^ETNOSTI. tO^KA QWLQETSQ PREDELXNOJ DLQ POSLEDOWATELXNOSTI TOGDA I
TOLXKO TOGDA, KOGDA ONA QWLQETSQ PREDELOM NEKOTOROJ PODPOSLEDOWATELX-
NOSTI.
   7.26. tEOREMA. pUSTX A | PODMNOVESTWO X I x 2 X . tO^KA x
PRINADLEVIT A TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA SU]ESTWUET NAPRAWLEN-
NOSTX, SOSTOQ]AQ IZ \LEMENTOW A I SHODQ]AQSQ K x.
   dOKAZATELXSTWO. pUSTX x 2 A. nAPRAWLENNOSTX fxU : U 2 Oxg IZ
7.11.2, GDE xU 2 A \ U , SHODITSQ K x.
   oBRATNOE UTWERVDENIE NEPOSREDSTWENNO SLEDUET IZ OPREDELENIJ PRE-
DELA NAPRAWLENNOSTI I ZAMYKANIQ MNOVESTWA.
   7.27. tEOREMA. tOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO X HAUSDORFOWO TOG-
DA I TOLXKO TOGDA, KOGDA WSQKAQ NAPRAWLENNOSTX W X IMEET NE BOLEE
ODNOGO PREDELA.
   dOKAZATELXSTWO. pUSTX X | HAUSDORFOWO PROSTRANSTWO. pREDPOLO-
VIM, ^TO W X SU]ESTWUET NAPRAWLENNOSTX S = fx
 : 
 2 g, IME@]AQ
DWA RAZLI^NYH PREDELA x1 I x2 . pUSTX U1 I U2 | NEPERESEKA@]IESQ
OKRESTNOSTI TO^EK x1 I x2, SOOTWETSTWENNO. dLQ i = 1 2 SU]ESTWU@T
TAKIE 
i 2 , ^TO x
 2 Ui DLQ L@BOGO 
  
i. tAK KAK MNOVESTWO 
NAPRAWLENO, TO SU]ESTWUET  2 , UDOWLETWORQ@]IJ USLOWIQM   
i,
i = 1 2. tOGDA x 2 U1 \ U2 = . pROTIWORE^IE.
   oBRATNO, PREDPOLOVIM, ^TO X NE QWLQETSQ HAUSDORFOWYM. |TO OZNA-
^AET, ^TO W X NAJDUTSQ DWE RAZLI^NYE TO^KI x1 I x2 , TAKIE, ^TO L@-
BYE DWE OKRESTNOSTI \TIH TO^EK PERESEKA@TSQ. pUSTX ; | DEKARTOWO
PROIZWEDENIE DWUH NAPRAWLENNYH MNOVESTW Ox1 I Ox2 (SM. 7.9.4). ; NA-
PRAWLENO ESTESTWENNYM OTNOENIEM (SM. 7.9.5). dLQ KAVDOGO \LEMENTA
 = (U V ) 2 ; WYBEREM TO^KU x 2 U \ V . lEGKO POKAZATX, ^TO x1 I x2
QWLQ@TSQ PREDELAMI NAPRAWLENNOSTI fx :  2 ;g. pROTIWORE^IE.
   7.28. oPREDELENIE. nAPRAWLENNOSTX fx
 : 
 2 g W X NAZYWAET-




                                  53