Элементы общей топологии. Гумеров Р.Н. - 56 стр.

NIE. eSLI TOPOLOGI@ NA MNOVESTWE X ZAMENITX BOLEE SILXNOJ TOPOLO-
GIEJ 0 , A NA MNOVESTWE Y TOPOLOGI@  ZAMENITX BOLEE SLABOJ TOPOLOGIEJ
0 , TO OTOBRAVENIE f : (X 0 ) ;! (Y 0) OSTAETSQ NEPRERYWNYM. gOWORQ
NEFORMALXNO, ^EM SILXNEE TOPOLOGIQ W X I ^EM SLABEE TOPOLOGIQ W Y ,
TEM BOLXE NEPRERYWNYH OTOBRAVENIJ IZ X W Y .
     pOSKOLXKU NA PRAKTIKE NEPRERYWNOSTX OTOBRAVENIJ ^ASTO PRIHODIT-
SQ DOKAZYWATX, TO DLQ \TOGO UDOBNO IMETX KRITERII, SFORMULIROWANNYE
W RAZLI^NYH TERMINAH.
     8.5. tEOREMA. pUSTX f : (X ) ;    ! (Y ) | OTOBRAVENIE MEVDU
TOPOLOGI^ESKIMI PROSTRANSTWAMI. sLEDU@]IE USLOWIQ \KWIWALENTNY:
    1) OTOBRAVENIE f NEPRERYWNO
    2) PROOBRAZ L@BOGO \LEMENTA NEKOTOROJ PREDBAZY  W Y OTKRYT W
       PROSTRANSTWE X
    3) PROOBRAZ L@BOGO \LEMENTA NEKOTOROJ BAZY  W Y OTKRYT W PRO-
       STRANSTWE X
    4) SU]ESTWU@T SISTEMY OKRESTNOSTEJ fA(x) j x 2 X g W X I fB(y) j
       y 2 Y g W Y , TAKIE, ^TO DLQ L@BOJ TO^KI x 2 X I L@BOJ OKREST-
       NOSTI V 2 B(f (x)) NAJDETSQ OKRESTNOSTX U 2 A(x), OBRAZ KOTO-
       ROJ SODERVITSQ W V , T.E. f (U ) V
    5) PROOBRAZ L@BOGO ZAMKNUTOGO PODMNOVESTWA Y ZAMKNUT W X
    6) DLQ L@BOGO PODMNOVESTWA A X IMEEM f (A) f (A).
     dOKAZATELXSTWO.
     1) ) 2) iZ TEOREMY 8.3, POTOMU ^TO WSQKAQ PREDBAZA SOSTOIT IZ OT-
KRYTYH MNOVESTW.
     2) ) 3) kAVDYJ \LEMENT V PROIZWOLXNOJ BAZY W Y SOSTOIT IZ OB_-
EDINENIQ KONE^NYH PERESE^ENIJ \LEMENTOW  . pO\TOMU PROOBRAZ f ;1(V )
PREDSTAWLQET SOBOJ OB_EDINENIE KONE^NYH PERESE^ENIJ OKRESTNOSTEJ IZ
PROSTRANSTWA X .
     3) ) 4) w KA^ESTWE fB(y) j y 2 Y g WYBEREM PROIZWOLXNU@ SISTEMU
OKRESTNOSTEJ W Y . pUSTX x 2 X I V 2 B(f (x)). sU]ESTWUET TAKAQ OKREST-
NOSTX W 2  , ^TO f (x) 2 W V . zNA^IT, f ;1(W ) QWLQETSQ OKRESTNOSTX@
TO^KI x. pUSTX A(x) | PROIZWOLXNAQ BAZA PROSTRANSTWA X W TO^KE x I
U | \LEMENT \TOJ BAZY, UDOWLETWORQ@]IJ USLOWI@ U f ;1(W ). tOGDA
f (U ) V .

                                  56