Элементы общей топологии. Гумеров Р.Н. - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

   10.24.   oPREDELENIE mETRI^ESKOE PROSTRANSTWO NAZYWAETSQ PRED
                             .                                                      -
KOMPAKTNYM, ESLI U L@BOJ POSLEDOWATELXNOSTI TO^EK \TOGO PROSTRANST-
WA SU]ESTWUET FUNDAMENTALXNAQ PODPOSLEDOWATELXNOSTX.
    10.25. tEOREMA. mETRI^ESKOE PROSTRANSTWO KOMPAKTNO TOGDA I
TOLXKO TOGDA, KOGDA ONO PREDKOMPAKTNO I POLNO.
    10.26. zAME^ANIQ. 1) pREDKOMPAKTNOE MNOVESTWO OGRANI^ENO, TO
ESTX QWLQETSQ PODMNOVESTWOM NEKOTOROGO ARA. 2) oGRANI^ENNOE MNO-
VESTWO MOVET NE BYTX PREDKOMPAKTNYM.
    10.27. oPREDELENIQ. pUSTX ZADANO DEJSTWITELXNOE ^ISLO " > 0.
pODMNOVESTWO A METRI^ESKOGO PROSTRANSTWA (X d) NAZYWAETSQ "{SETX@
DLQ PODMNOVESTWA B X , ESLI DLQ L@BOJ TO^KI b 2 B NAJDETSQ TAKAQ
TO^KA a 2 A, ^TO d(a b) < ": pODMNOVESTWO B METRI^ESKOGO PROSTRANSTWA
X NAZYWAETSQ WPOLNE OGRANI^ENNYM, ESLI DLQ L@BOGO " > 0 W PROSTRAN-
STWE X SU]ESTWUET KONE^NAQ "{SETX DLQ B .
    uDOBNYJ METOD PROWERKI PREDKOMPAKTNOSTI MNOVESTWA DAET SLEDU@-
]AQ TEOREMA hAUSDORFA.
    10.28. tEOREMA. mETRI^ESKOE PROSTRANSTWO PREDKOMPAKTNO TOG-
DA I TOLXKO TOGDA, KOGDA ONO WPOLNE OGRANI^ENO.
    kOMBINIRUQ PRIWEDENNYE WYE TEOREMY, POLU^AEM UTWERVDENIE:
    10.29. tEOREMA. mETRIZUEMOE PROSTRANSTWO X QWLQETSQ KOMPAKT-
NYM TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA NA NEM SU]ESTWUET TAKAQ METRIKA
d, ^TO PROSTRANSTWO (X d) POLNO I WPOLNE OGRANI^ENO.
    sLEDU@]IJ REZULXTAT IMEET MNOGO^ISLENNYE PRILOVENIQ W ANALIZE,
GEOMETRII I TOPOLOGII.
    10.30. lEMMA lEBEGA. dLQ L@BOGO OTKRYTOGO POKRYTIQ O KOM-
PAKTNOGO METRI^ESKOGO PROSTRANSTWA X SU]ESTWUET TAKOE " > 0,
NAZYWAEMOE ^ISLOM lEBEGA POKRYTIQ O, ^TO DLQ L@BOJ TO^KI x 2 X
AR B"(x) CELIKOM SODERVITSQ W NEKOTOROM \LEMENTE POKRYTIQ O.
    dOKAZATELXSTWO. pUSTX DLQ KAVDOJ TO^KI x 2 X WYBRANO TAKOE ^IS-
LO "(x) > 0, ^TO OTKRYTYJ AR RADIUSA 2"(x) S CENTROM W TO^KE x CELI-
KOM SODERVITSQ W NEKOTOROM \LEMENTE POKRYTIQ O. w SILU KOMPAKTNOSTI
PROSTRANSTWA X , IZ OTKRYTOGO POKRYTIQ fB"(x)(x) : x 2 X g PROSTRANST-
WA X MOVNO WYDELITX KONE^NOE PODPOKRYTIE:
   X = B"(x1 )(x1 )  B"(x2) (x2 )  : : :  B"(xn)(xn ) x1  : : :  xn 2 X n 2 N :
    nETRUDNO WIDETX, ^TO NAIMENXEE IZ ^ISEL "(x1 ) "(x2) : : :  "(xn) QW-
                                         73

Страницы