Элементы общей топологии. Гумеров Р.Н. - 71 стр.

   10.14.   sLEDSTWIE tOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO KOMPAKTNO TOG
                       .                                                   -
DA I TOLXKO TOGDA, KOGDA L@BOE CENTRIROWANNOE SEMEJSTWO EGO POD-
MNOVESTW IMEET PO KRAJNEJ MERE ODNU OB]U@ TO^KU PRIKOSNOWENIQ.
   10.15. tEOREMA. l@BOE KOMPAKTNOE HAUSDORFOWO PROSTRANSTWO
NORMALXNO.
   dOKAZATELXSTWO. pUSTX M I N | NEPUSTYE NEPERESEKA@]IESQ ZA-
MKNUTYE PODMNOVESTWA KOMPAKTNOGO HAUSDORFOWA PROSTRANSTWA X . wO-
PERWYH, PO 10.8, ONI KOMPAKTNY. wO-WTORYH, PO LEMME 10.9, DLQ KAVDOJ
TO^KI x 2 N NAJDUTSQ NEPERESEKA@]IESQ OKRESTNOSTI Ux(M ) I V (x) MNO-
VESTWA M I TO^KI x SOOTWETSTWENNO. sEMEJSTWO fV (x) : x 2 N g TAKIH
OKRESTNOSTEJ OBRAZUET OTKRYTOE POKRYTIE MNOVESTWA N I, SLEDOWATELX-
NO, SODERVIT KONE^NOE PODPOKRYTIE, SKAVEM, V (x1 ) V (x2 ) : : :  V (xn)
n 2 N : pUSTX
                        \
                        n
               U (M ) := Ux (M )
                                                         

                                                         n
                                                V (N ) := V (xi ):
                                  i
                           i=1                              i=1
   qSNO, ^TO U (M ) I V (N ) QWLQ@TSQ NEPERESEKA@]IMISQ OKRESTNOSTQMI
SOOTWETSTWENNO M I N .
   pEREJDEM K RASSMOTRENI@ NEKOTORYH SWOJSTW NEPRERYWNYH OTOBRA-
VENIJ MEVDU KOMPAKTNYMI PROSTRANSTWAMI.
   10.16. tEOREMA. pUSTX f : (X ) ;    ! (Y ) | NEPRERYWNOE OTOBRA-
VENIE MEVDU TOPOLOGI^ESKIMI PROSTRANSTWAMI. eSLI PROSTRANSTWO
X KOMPAKTNO, TO I OBRAZ f (X ) KOMPAKTEN. iNYMI SLOWAMI, NEPRERYW-
NYJ OBRAZ KOMPAKTNOGO PROSTRANSTWA KOMPAKTEN.
   dOKAZATELXSTWO. pUSTX fO
 : 
 2 g| OTKRYTOE POKRYTIE f (X ).
sEMEJSTWO ff ;1(O
) : 
 2 g QWLQETSQ OTKRYTYM POKRYTIEM KOMPAKT-
NOGO PROSTRANSTWA X . pUSTX
                              

                              n
                           X = f ;1(O
 )           n 2 N:
                                            i
                                 i=1
   sPRAWEDLIWY SLEDU@]IE FORMULY:
                             

                             n
                                  ; 1
                     f (X ) = f (f (O
 ))
                                          

                                          n
                                            O
 :i             i
                                 i=1                  i=1
   tEM SAMYM POKAZANO, ^TO f (X ) KOMPAKTNO.
   10.17.   sLEDSTWIE oBOB]ENNAQ TEOREMA wEJERTRASSA nE
                           (                                         ).    -
PRERYWNAQ WE]ESTWENNAQ FUNKCIQ NA KOMPAKTNOM PROSTRANSTWE OGRA-
NI^ENA I DOSTIGAET SWOIH NAIBOLXEGO I NAIMENXEGO ZNA^ENIJ.
                                       71