Элементы общей топологии. Гумеров Р.Н. - 70 стр.

  3) kAVDAQ NAPRAWLENNOSTX W X IMEET PREDELXNU@ TO^KU.
  4) kAVDAQ NAPRAWLENNOSTX W X OBLADAET SHODQ]EJSQ PODNAPRAWLEN-
     NOSTX@.
  5) kAVDAQ UNIWERSALXNAQ NAPRAWLENNOSTX W X SHODITSQ.
   dOKAZATELXSTWO. dOKAVEM TOLXKO \KWIWALENTNOSTX 2) () 3).
   2) =) 3). pUSTX S = fx
 : 
 2 g | PROIZWOLXNAQ NAPRAWLENNOSTX W
PROSTRANSTWE X . sEMEJSTWO
               F := fF
 : 
 2 g GDE F
 := fx : 
  g
SOSTOIT IZ ZAMKNUTYH MNOVESTW I CENTRIROWANO, TAK KAK F
 6= ? DLQ
L@BOGO INDEKSA 
 2  I F F PRIT   : zNA^IT, SU]ESTWUET TAKAQ
TO^KA x W PROSTRANSTWE X , ^TO x 2 F : uTWERVDAETSQ, ^TO x QWLQETSQ
PREDELXNOJ TO^KOJ DLQ NAPRAWLENNOSTI S . dEJSTWITELXNO, W PROTIWNOM
SLU^AE NALISX BY OKRESTNOSTX U (x) I INDEKS  2 , DLQ KOTORYH
                        U (x) \ fx
 :   
g = ?:
pOLU^ILOSX BY, ^TO x 2= F  ^TO NEWERNO.
   3) =) 2). tEPERX PREDPOLOVIM, ^TO W PROSTRANSTWE X WSQKAQ NAPRAW-
LENNOSTX IMEET PREDELXNU@ TO^KU, I F | PROIZWOLXNOE CENTRIROWANNOE
SEMEJSTWO ZAMKNUTYH PODMNOVESTW W X . oBOZNA^IM ^EREZ  MNOVESTWO,
SOSTOQ]EE IZ WSEH KONE^NYH PODSEMEJSTW SEMEJSTWA F . wWEDEM NA NEM OT-
NOENIE . dLQ 
 := fF1 F2 : : :  Fmg 2  I  := fG1 G2 : : :  Gng 2 
POLOVIM
                     
   ESLI
                                       \
                                       n
                                          Gj
                                               \
                                               m
                                                  Fi:
                                         j =1     i=1
    mNOVESTWO  NAPRAWLENO \TIM OTNOENIEM.
    dALEE STROIM NAPRAWLENNOSTX W X . dLQ \TOGO, WZQW PROIZWOLXNYJ \LE-
MENT      := fF1 F2  : : :  Fm g 2 F  WYBIRAEM KAKU@-NIBUDX TO^KU x
 2
 Tm Fi: 
pOLU^AEM NAPRAWLENNOSTX S := fx
 : 
 2 g.
i=1
    pUSTX x| PREDELXNAQ TO^KA DLQ S . pOKAVEM, ^TO x 2 F :
                                                               T
    zAFIKSIRUEM PROIZWOLXNYJ \LEMENT F0 SEMEJSTWA F : pUSTX U | PRO-
IZWOLXNAQ OKRESTNOSTX TO^KI x. wYBEREM          TAKOE 
 := fF1 F2 : : :  Fmg 
                                            T
                                            m
 := fF0g, ^TO x
 2 U . tAK KAK x
 2 Fi F0 TO F0 \ U 6= ?: sLEDOWA-
                                           i=1
TELXNO, x 2 F0 = F0 ^TO I TREBOWALOSX DOKAZATX.

                                       70