Элементы общей топологии. Гумеров Р.Н. - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

   10.   kOMPAKTNYE PROSTRANSTWA
   w KURSE MATEMATI^ESKOGO ANALIZA DOKAZYWAETSQ, ^TO IZ L@BOGO SEMEJ-
STWA OTKRYTYH INTERWALOW, POKRYWA@]IH ZAMKNUTYJ OTREZOK DEJSTWI-
TELXNOJ OSI, MOVNO WYBRATX KONE^NOE PODSEMEJSTWO, TOVE POKRYWA@]EE
\TOT OTREZOK (LEMMA gEJNE-bORELQ-lEBEGA). |TO SWOJSTWO, NAZYWAEMOE
KOMPAKTNOSTX@ SEGMENTA, IGRAET O^ENX WAVNU@ ROLX W ANALIZE. w ^AST-
NOSTI, ONO ISPOLXZUETSQ PRI DOKAZATELXSTWE TEOREMY wEJERTRASSA O
DOSTIVENII NEPRERYWNOJ FUNKCIEJ NA ZAMKNUTOM OTREZKE SWOIH TO^NYH
WERHNEJ I NIVNEJ GRANEJ. dOKAZATELXSTWO TEOREMY kANTORA O RAWNOMER-
NOJ NEPRERYWNOSTI FUNKCII, NEPRERYWNOJ NA SEGMENTE, TOVE ISPOLXZUET
\TO SWOJSTWO OTREZKA. w SWO@ O^EREDX, SREDI PRO^EGO, TEOREMA kANTORA
MOVET BYTX ZADEJSTWOWANA W DOKAZATELXSTWE INTEGRIRUEMOSTI NEPRERYW-
NOJ NA ZAMKNUTOM OTREZKE FUNKCII.
   kOMPAKTNYE PROSTRANSTWA I IH NEPRERYWNYE OTOBRAVENIQ, IZU^ENIE
KOTORYH QWLQETSQ CELX@ \TOGO RAZDELA, SOSTAWLQ@T ODNU IZ NAIBOLEE
WAVNYH KATEGORIJ TOPOLOGII.
   k KLASSU KOMPAKTNYH PROSTRANSTW PRINADLEVAT WSE OGRANI^ENNYE
ZAMKNUTYE PODMNOVESTWA EWKLIDOWYH PROSTRANSTW, MNOGIMI SWOJSTWAMI
KOTORYH OBLADA@T PROIZWOLXNYE KOMPAKTNYE PROSTRANSTWA.
   10.1. oPREDELENIQ. sEMEJSTWO C PODMNOVESTW MNOVESTWA A NAZY-
WAETSQ POKRYTIEM MNOVESTWA B A, ESLI B SODERVITSQ W OB_EDINENII
\LEMENTOW SEMEJSTWA C . pOKRYTIE NAZYWAETSQ KONE^NYM, ESLI ONO SODER-
VIT KONE^NOE ^ISLO \LEMENTOW. pOKRYTIE D MNOVESTWA B NAZYWAETSQ
PODPOKRYTIEM POKRYTIQ C MNOVESTWA B , ESLI D C : w SLU^AE, KOG-
DA X | TOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO, POKRYTIE C MNOVESTWA Y X
NAZYWAETSQ OTKRYTYM, ESLI WSE \LEMENTY C OTKRYTY.
   10.2. oPREDELENIE. tOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO (X ) NAZYWAET-
SQ KOMPAKTNYM, ESLI KAVDOE EGO OTKRYTOE POKRYTIE SODERVIT KONE^NOE
PODPOKRYTIE, T.E. ESLI DLQ KAVDOGO SEMEJSTWA fO :  2 g  UDOW-
LETWORQ@]EGO RAWENSTWU X = fO :  2 g SU]ESTWUET TAKOE KONE^NOE
MNOVESTWO ; , ^TO X = fO :  2 ;g.
    10.3. pRIMERY. 1) pROIZWOLXNOE PROSTRANSTWO, SOSTOQ]EE IZ KO-
NE^NOGO ^ISLA TO^EK, KOMPAKTNO. 2) aNTIDISKRETNOE PROSTRANSTWO KOM-
PAKTNO. 3) bESKONE^NOE MNOVESTWO S TOPOLOGIEJ zARISSKOGO KOMPAKTNO.
4) eWKLIDOWO PROSTRANSTWO R n NE KOMPAKTNO. 5) bESKONE^NOE MNOVESTWO,
NADELENNOE DISKRETNOJ TOPOLOGIEJ, NE KOMPAKTNO.
    10.4. oPREDELENIE. pODMNOVESTWO Y      (X ) NAZYWAETSQ KOMPAKT-

                                 68

Страницы