Элементы общей топологии. Гумеров Р.Н. - 76 стр.

   dOKAZATELXSTWO. nEOBHODIMOSTX. wYTEKAET IZ NEPRERYWNOSTI OTO-
BRAVENIJ fj I TEOREMY 8.8.
   dOSTATO^NOSTX. rASSMOTRIM \LEMENT O(x) BAZY TOPOLOGI^ESKOGO PRO-
STRANSTWA X , KOTORYJ QWLQETSQ OKRESTNOSTX@ TO^KI x. eGO MOVNO PRED-
STAWITX W WIDE:
               O(x) = fj;1 1(Oj1 ) \ fj;2 1(Oj2 ) \ : : : \ fj;n1(Ojn )
GDE Ojk 2 jk  k = 1 2 : : :  n n 2 N :
    dLQ KAVDOGO IZ UKAZANNYH INDEKSOW jk PROOBRAZ fj;k1(Ojk ) SODERVIT
TO^KU x. pO\TOMU MNOVESTWO Ojk QWLQETSQ OKRESTNOSTX@ TO^KI fjk (x).
tAK KAK PO USLOWI@ NAPRAWLENNOSTX ffjk (x
) j 
 2 g SHODITSQ K TO^-
KE fjk (x) W PROSTRANSTWE Yjk  TO NAJDETSQ TAKOJ INDEKS 
k 2  ^TO DLQ
WSQKOGO 
  
k TO^KA fjk (x
) LEVIT W OKRESTNOSTI Ojk . pOSKOLXKU  |
NAPRAWLENNOE MNOVESTWO, TO SU]ESTWUET INDEKS 
0 KOTOROMU PREDEST-
WU@T WSE INDEKSY 
1 
2  : : :  
n: tOGDA DLQ L@BOGO 
  
0 I KAVDOGO
k = 1 2 : : :  n TO^KA fjk (x
 ) SODERVITSQ W OKRESTNOSTI Ojk . zNA^IT, DLQ
WSQKOGO 
  
0 IMEEM WKL@^ENIE
                     x
 2 fj;1 1(Oj1 ) \ fj;2 1(Oj2 ) \ : : : \ fj;n1(Ojn ):
dALXNEJIE RASSUVDENIQ O^EWIDNY.
    dWOJSTWENNOJ PO OTNOENI@ K INICIALXNOJ TOPOLOGII SLUVIT TAK
NAZYWAEMAQ FINALXNAQ TOPOLOGIQ. sNA^ALA MY OPREDELIM EE WAVNYJ
^ASTNYJ SLU^AJ | FAKTOR-TOPOLOGI@.
    pUSTX (X ) | PROIZWOLXNOE TOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO, R | NE-
KOTOROE OTNOENIE \KWIWALENTNOSTI NA MNOVESTWE X , X=R | MNOVESTWO
WSEH KLASSOW \KWIWALENTNOSTI OTNOENIQ R, A q : X ;! X=R | ESTEST-
WENNOE (FAKTORNOE) OTOBRAVENIE, STAWQ]EE W SOOTWETSTWIE KAVDOJ TO^KE
x 2 X EE KLASS \KWIWALENTNOSTI x] 2 X=R. nA FAKTOR-MNOVESTWE X=R
SU]ESTWUET SILXNEJAQ TOPOLOGIQ SREDI WSEH TOPOLOGIJ, OTNOSITELXNO
KOTORYH OTOBRAVENIE q NEPRERYWNO. a IMENNO, TAKOJ TOPOLOGIEJ QWLQ-
ETSQ SEMEJSTWO WSEH PODMNOVESTW MNOVESTWA X=R, PROOBRAZY KOTORYH
PRI ESTESTWENNOM OTOBRAVENII OTKRYTY W X . |TA TOPOLOGIQ NAZYWAET-
SQ FAKTOR-TOPOLOGIEJ I OBOZNA^AETSQ =R (ILI q ), A MNOVESTWO X=R,
SNABVENNOE =R, NAZYWAETSQ FAKTOR-PROSTRANSTWOM.
    11.4. tEOREMA. mNOVESTWO F W FAKTOR-PROSTRANSTWE X=R ZAMK-
NUTO TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA MNOVESTWO q;1(F ) ZAMKNUTO W X .
    dOKAZATELXSTWO. uTWERVDENIE NEMEDLENNO WYTEKAET IZ RAWENSTWA
q (X=R r F ) = X r q;1(F ):
 ;1


                                          76