Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

σ
A
A
U
{X
1
, . . . , X
n
} s
1
, . . . , s
k
{X
1
} X
1
X
1
s {X
1
, . . . , X
n−1
} s ∩ X
n
s ∩ X
n
{X
1
, . . . , X
n−1
, X
n
}
X
U = {a, b, c, d}
X
1
= {a, b}, X
2
= {b} {b} ∅ {a} {c, d}
X
1
= {a, b}, X
2
= {b, c} {b} {c} {a} {d}
σ ∈ { 0, 1 } X X
σ
X
σ
X σ = 1
X σ = 0
m
T
j=1
X
σ
j
j
X
1
, . . . , X
m
σ
j
∈ { 0, 1 }
{X
1
, . . . , X
n
} X
i
∈ U i = 1, n
n 2
n
U
10                                                                   Ãëàâà 1. Áóëåâû àëãåáðû


Ïðèìåð 1.1. σ -àëãåáðà ïîäìíîæåñòâ ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé, èñïîëüçóåìàÿ
â àêñèîìàòèêå òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, åñòü àëãåáðà ìíîæåñòâ è, ñëåäîâàòåëüíî, áóëåâà àë-
ãåáðà.
   Çàìåòèì, ÷òî ñèñòåìà ïîäìíîæåñòâ íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà ìîæåò îêàçàòüñÿ áóëåâîé
àëãåáðîé, íå ÿâëÿÿñü ïðè ýòîì àëãåáðîé ìíîæåñòâ. Ýòî áóäåò, êîãäà õîòÿ áû îäíà èç
îïåðàöèé íà äàííîé ñèñòåìå íå ñîâïàäàåò ñ ñîîòâåòñòâóþùåé òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííîé.
Íèæå òàêèå ñèñòåìû âñòðåòÿòñÿ.
   Ïðîâåðêó ðàâåíñòâ áóëåâîé àëãåáðû ëåã÷å âñåãî ïðîâîäèòü, èñïîëüçóÿ èçâåñòíûå ÷è-
òàòåëþ äèàãðàììû Ýéëåðà-Âåííà6 , â êîòîðûõ ìíîæåñòâî A èçîáðàæàåòñÿ ïðÿìîóãîëü-
íèêîì, à åãî ïîäìíîæåñòâà  ðàçëè÷íûìè êðóãàìè èëè îâàëàìè îáùåãî ïîëîæåíèÿ â
ýòîì ïðÿìîóãîëüíèêå. Ïðè ýòîì îáúåäèíåíèþ ýëåìåíòîâ ñîîòâåòñòâóåò îáúåäèíåíèå, à
ïåðåñå÷åíèþ  îáùàÿ ÷àñòü ôèãóð, ñâÿçàííûõ ñ äàííûìè ýëåìåíòàìè. Òàêèå äèàãðàììû
ñòðîÿò îòäåëüíî äëÿ ëåâûõ è ïðàâûõ ÷àñòåé ïðîâåðÿåìîãî ðàâåíñòâà, à èíòåðåñóþùóþ
ïðè äàííîé ïðîâåðêå îáëàñòü çàøòðèõîâûâàþò. Åñëè íà ñîîòâåòñòâóþùåé ïàðå äèàãðàìì
çàøòðèõîâàííûìè îêàçàëèñü îäèíàêîâûå îáëàñòè, òî, ðàññìàòðèâàÿ ðàçëè÷íûå ïîäîá-
ëàñòè A ïîëó÷àþùèåñÿ â ðåçóëüòàòå ïåðåñå÷åíèÿ ôèãóð, ìîæíî ïðîâåñòè ôîðìàëüíîå
äîêàçàòåëüñòâî, ïîäîáíîå ïðèâåä¼ííîìó âûøå.
   Âïðî÷åì, íà ïðàêòèêå ìîæíî ïðîñòî îãðàíè÷èòüñÿ óêàçàííîé êîíñòàòàöèåé, åñëè ñî-
îòâåòñòâóþùèå ïîñòðîåíèÿ ïðîâîäèòü äëÿ ïðàâèëüíî ïîñòðîåííûõ äèàãðàìì Ýéëåðà-
Âåííà. Íèæå äàííîå ïîíÿòèå ôîðìàëèçóåòñÿ.
Îïðåäåëåíèå 1.2. Ïóñòü äàíî íåïóñòîå ìíîæåñòâî U è ñèñòåìà åãî ïîäìíîæåñòâ
{X1 , . . . , Xn }. Ñîñòàâëÿþùèå s1 , . . . , sk äàííîé ñèñòåìû ìíîæåñòâ çàäàþòñÿ ñëåäóþ-
ùèì èíäóêòèâíûì îïðåäåëåíèåì:
     1) ñîñòàâëÿþùèå ñèñòåìû {X1 } ñóòü X1 è X 1 ;
     2) åñëè s  ñîñòàâëÿþùàÿ ñèñòåìû {X1 , . . . , Xn−1 }, òî s ∩ Xn è s ∩ X n  ñîñòàâëÿ-
        þùèå ñèñòåìû {X1 , . . . , Xn−1 , Xn }.
Ñèñòåìà ìíîæåñòâ X íàçûâàåòñÿ íåçàâèñèìîé, åñëè âñå å¼ ñîñòàâëÿþùèå íåïóñòû.
Ïðèìåð 1.2. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî U = {a, b, c, d}.
     1. Ñîñòàâëÿþùèå ñèñòåìû X1 = {a, b}, X2 = {b} ñóòü {b}, ∅, {a}, {c, d}, è, ñëåäî-
        âàòåëüíî, äàííàÿ ñèñòåìà ìíîæåñòâ íå ÿâëÿåòñÿ íåçàâèñèìîé.
     2. Ñîñòàâëÿþùèå ñèñòåìû X1 = {a, b}, X2 = {b, c} ñóòü {b}, {c}, {a}, {d}, è, ñëå-
        äîâàòåëüíî, äàííàÿ ñèñòåìà ìíîæåñòâ íåçàâèñèìà.

    Äëÿ σ ∈ { 0, 1 } è ìíîæåñòâà X ââåä¼ì îáîçíà÷åíèå X σ : X σ åñòü X , åñëè σ = 1 è
                                        T
                                        m
                                            σ
X , åñëè σ = 0. Áóëåâî âûðàæåíèå âèäà      Xj j , ãäå X1 , . . . , Xm ñóòü ïîïàðíî ðàçëè÷-
                                              j=1
íûå ïîäìíîæåñòâà íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà, à σj ∈ { 0, 1 }, íàçûâàåòñÿ èõ ýëåìåíòàðíûì
ïåðåñå÷åíèåì èëè êîíñòèòóåíòîé. Ïîíÿòíî, ÷òî êîíñòèòóåíòû ëèáî ñîâïàäàþò, ëèáî íå
ïåðåñåêàþòñÿ.
Ëåììà 1.2 (Ñâîéñòâà ñîñòàâëÿþùèõ ñèñòåìû ìíîæåñòâ).                1. Ïðîèçâîëüíàÿ ñî-
        ñòàâëÿþùàÿ ñèñòåìû ìíîæåñòâ {X1 , . . . , Xn }, Xi ∈ U , i = 1, n, ïðåäñòàâèìà
        â âèäå ýëåìåíòàðíîãî ïåðåñå÷åíèÿ è, ñëåäîâàòåëüíî, íåðàâíûå ñîñòàâëÿþùèå íå
        ïåðåñåêàþòñÿ.
     2. Íåçàâèñèìàÿ ñèñòåìà èç n ìíîæåñòâ èìååò 2n ðàçëè÷íûõ ñîñòàâëÿþùèõ.
     3. Îáúåäèíåíèå âñåõ ñîñòàâëÿþùèõ ñîâïàäàåò ñ óíèâåðñàëüíûì ìíîæåñòâîì U .
  6 Ñì., íàïðèìåð, À.Ñ. Êóçè÷åâ. Äèàãðàììû Âåííà  Ì.: Íàóêà, 1968 èëè Ð. Ôîð, À. Êîôìàí, Ì. Äåíè-
Ïàïåí. Ñîâðåìåííàÿ ìàòåìàòèêà  Ì.: Ìèð, 1966.

Страницы