Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

xuy = o
x y x t y = ι
\
[
x
[
t o x
0
tι = x
0
x
0
to = x
0 ∗
DeM1 x
0
u y
0
= x t y
(x
0
u y
0
)
0
= x t y
x ∈ B
x t x
Abs1
= x t (x u (x t x))
Abs2
= x.
x, y, z
(x t z) u (y t z)
Dtr1
= (x u (y t z)) t (z u (y t z))
Abs1, Dtr1
=
= (x u y) t (x u z) t z
Abs2
= (x u y) t z.
Dtr 1 ⇒ Dtr2 Dtr 2 ⇒ Dtr1
x, y ∈ B
(x u y) t (x
0
t y
0
) = ι (x u y) u (x
0
t y
0
) = o.
x
0
t y
0
x u y DeM1
DeM2
t o u ι
8                                                                              Ãëàâà 1. Áóëåâû àëãåáðû


Çàìå÷àíèÿ.   1.  (1) ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ðàññìàòðèâàåìîå ðàâåíñòâî èñòèííî äëÿ ëþ-
     áûõ ýëåìåíòîâ áóëåâîé àëãåáðû. Íàïðèìåð, ñïðàâåäëèâîñòü xuy = o äëÿ íåêîòîðûõ
     x è y íå îçíà÷àåò, ÷òî x t y = ι (ïðåîáðàçîâàíèå \ ).
       Ýòî çàìå÷àíèå áóäåò îòíîñèòñÿ è ê ðàññìàòðèâàåìûì äàëåå ïðèíöèïàì äâîéñòâåí-
       íîñòè äëÿ äðóãèõ ñòðóêòóð3 .
    2. Åñëè ïðè çàìåíå [ ïðåíåáðå÷ü óêàçàíèåì ¾ x íå åñòü óíèâåðñàëüíàÿ ãðàíü¿, òî,
       íàïðèìåð, ïðèìåíÿÿ [ ê çàêîíó t o, ïîëó÷èì íåâåðíîå ðàâåíñòâî x 0 tι = x 0 âìåñòî
       âåðíîãî x 0 t o = x 0 , à ïðèìåíÿÿ ∗ ê DeM 1  íåâåðíîå ðàâåíñòâî x 0 u y 0 = x t y
       âìåñòî âåðíîãî (x 0 u y 0 ) 0 = x t y .

    Íåòðóäíî îáíàðóæèòü, ÷òî ïðèâåä¼ííàÿ ñèñòåìà èç 21-îé àêñèîìû èçáûòî÷íà.

    ˆ Çàêîíû èäåìïîòåíòíîñòè âûòåêàþò èç çàêîíîâ ïîãëîùåíèÿ. Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ
      ëþáîãî x ∈ B èìååò ìåñòî
                                            Abs1                       Abs2
                                     x t x = x t (x u (x t x)) = x.

       Èäåìïîòåíòíîñòü ïåðåñå÷åíèÿ ñëåäóåò èç òîëüêî ÷òî äîêàçàííîãî ïî ïðèíöèïó äâîé-
       ñòâåííîñòè4 .
    ˆ Çàêîíû ïîãëîùåíèÿ âëåêóò ýêâèâàëåíòíîñòü äèñòðèáóòèâíûõ çàêîíîâ. Äåéñòâè-
      òåëüíî, äëÿ ëþáûõ ýëåìåíòîâ x, y, z áóëåâîé àëãåáðû èìååì

                              Dtr1                                     Abs1, Dtr1
         (x t z) u (y t z) = (x u (y t z)) t (z u (y t z))                 =
                                                                                        Abs2
                                                          = (x u y) t (x u z) t z = (x u y) t z.

       ò.å. Dtr1 ⇒ Dtr2. Äâîéñòâåííî ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî Dtr2 ⇒ Dtr1.
    ˆ Èñïîëüçóÿ çàêîíû äèñòðèáóòèâíîñòè, àññîöèàòèâíîñòè, ñâîéñòâà äîïîëíåíèÿ è åäè-
      íèöû ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî äëÿ ëþáûõ x, y ∈ B ñïðàâåäëèâî

                          (x u y) t (x 0 t y 0 ) = ι     è    (x u y) u (x 0 t y 0 ) = o.

        ñîîòâåòñòâèè ñ ëåììîé 1.1 î åäèíñòâåííîñòè äîïîëíåíèÿ ýòî îçíà÷àåò, ÷òî
       x 0 t y 0  äîïîëíåíèå ê x u y , ò.å. èç óêàçàííûõ çàêîíîâ âûâåäåí çàêîí DeM 1.
       Àíàëîãè÷íàÿ âûâîäèìîñòü DeM 2 ñëåäóåò èç ïðèíöèïà äâîéñòâåííîñòè.

   Èçáûòî÷íîñòü ñèñòåìû àêñèîì îáû÷íî íå ÿâëÿåòñÿ ïîìåõîé â ïðàêòè÷åñêîé ðàáîòå,
è ïðè îïðåäåëåíèè áóëåâîé àëãåáðû óäîáíî çàäàâàòü èìåííî ïðèâåä¼ííûé íàáîð àêñèîì,
ñîäåðæàùèé âñå îñíîâíûå õàðàêòåðíûå äëÿ íå¼ ñîîòíîøåíèÿ. Âîïðîñ î íåèçáûòî÷íîé ñè-
ñòåìå àêñèîì äëÿ áóëåâîé àëãåáðû îêàçàëñÿ íå òàêèì ïðîñòûì, êàê ìîãëî áû ïîêàçàòüñÿ
íà ïåðâûé âçãëÿä. Â õîäå åãî èññëåäîâàíèÿ áûë îáíàðóæåí ðÿä èíòåðåñíûõ ôàêòîâ, ñ
íåêîòîðûìè èç êîòîðûõ ìû âñòðåòèìñÿ â äàëüíåéøåì. Çäåñü æå îòìåòèì âîñõîäÿùóþ
ê ðàáîòå Ý. Õàíòèíãòîíà5 ÷àñòî èñïîëüçóåìóþ ñèñòåìó, ñîäåðæàùóþ òîëüêî ïåðâûå âî-
ñåìü èç ïðèâåäåííûõ âûøå àêñèîì. Îäíàêî è óêàçàííàÿ ñîâîêóïíîñòü íå ÿâëÿåòñÿ íåçà-
âèñèìîé: ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî êàæäûé èç çàêîíîâ t o, u ι âûâîäèì èç îñòàëüíûõ ñåìè
àíàëîãè÷íî ïîêàçàííîìó âûøå äëÿ çàêîíîâ äèñòðèáóòèâíîñòè. Åäèíñòâåííàÿ èçâåñòíàÿ
    3 Îòìåòèì çäåñü, ÷òî âïåðâûå ïðèíöèï äâîéñòâåííîñòè áûë ñôîðìóëèðîâàí Ý. Øð¼äåðîì â 1877 ã.;
èì æå óêàçàíû íåêîòîðûå äðóãèå çàêîíû áóëåâîé àëãåáðû.
   4 Äëÿ íàñ óêàçàííûå ñëåäîâàíèÿ ïî÷òè î÷åâèäíû, îäíàêî îíè áûëè óñòàíîâëåíû âûäàþùèìñÿ íåìåö-
êèì ìàòåìàòèêîì Ð. Äå  äåêèíäîì.
   5 Huntington E.V. Sets of independent postulates for algebra of logic.  Amer. Math. Soc., 1904, 5, p. 288-
309. Ïîäðîáíîñòè ñì. â [12].

Страницы