Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

B
o ι B
t u
0
x y z B
Com t : x t y = y t x
Com u : x u y = y u x
Dtr1 : (x t y) u z = (x u z) t (y u z)
Dtr2 : (x u y) t z = (x t z) u (y t z)
t o : x t o = x
u ι : x u ι = x
Cmp
0
: x t x
0
= ι
Isl
0
: x u x
0
= o
Inv
0
: (x
0
)
0
= x
ι
0
: ι
0
= o
o
0
: o
0
= ι
DeM1 : (x t y)
0
= x
0
u y
0
DeM2 : (x u y)
0
= x
0
t y
0
t ι : x t ι = ι
u o : x u o = o
Ass t : x t (y t z) = (x t y) t z
Ass u : x u (y u z) = (x u y) u z
Id t : x t x = x
Id u : x u x = x
Abs1 : x u (x t y) = x
Abs2 : x t (x u y) = x
B B o ι
Com Dtr1, 2
Ass Id Abs
t o u ι t ι u o
6                                                           Ãëàâà 1. Áóëåâû àëãåáðû


Ãëàâà 1
Áóëåâû àëãåáðû
    ¾Áóëåâû àëãåáðû ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé óäîáíóþ ôîðìàëèçàöèþ ôðàãìåíòà òåî-
ðèè ìíîæåñòâ, ñëóæàùåé îñíîâîé áîëüøèíñòâà ñîâðåìåííûõ ðàçäåëîâ ìàòåìàòèêè,
÷òî è îïðåäåëÿåò øèðîêîå èõ ïðèìåíåíèå âî ìíîãèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ êîíñòðóêöèÿõ.¿
[ Ñ.Ñ. Ãîí÷àðîâ. ¾Ñ÷¼òíûå áóëåâû àëãåáðû¿ ].


1.1 Îïðåäåëåíèå áóëåâîé àëãåáðû. Àëãåáðàè÷åñêèå ñèñòåìû
Îïðåäåëåíèå 1.1. Áóëåâîé àëãåáðîé B íàçûâàåòñÿ ñîäåðæàùåå ïî êðàéíåé ìåðå äâà
ýëåìåíòà  o (íóëü ) è ι (åäèíèöà )  ìíîæåñòâî B ñ çàäàííûìè íà í¼ì áèíàðíûìè
îïåðàöèÿìè t (îáúåäèíåíèÿ ), u (ïåðåñå÷åíèÿ ) è óíàðíîé îïåðàöèåé 0 (äîïîëíåíèÿ ).
Ïðè ýòîì äëÿ ëþáûõ x, y è z èç B âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå çàêîíû (àêñèîìû ) áóëå-
âîé àëãåáðû :
 Com t : x t y = y t x ;
 Com u : x u y = y u x ;
   Dtr1 : (x t y) u z = (x u z) t (y u z) ;
   Dtr2 : (x u y) t z = (x t z) u (y t z) ;
     to : x t o = x;
     uι : x u ι = x;
  Cmp 0 : x t x 0 = ι ;
    Isl 0 : x u x 0 = o ;
   Inv 0 : (x 0 ) 0 = x ;
      ι0 : ι 0 = o ;
      o0 : o0 = ι;
 DeM 1 : (x t y) 0 = x 0 u y 0 ;
 DeM 2 : (x u y) 0 = x 0 t y 0 ;
     tι : x t ι = ι;
     uo : x u o = o;
  Ass t : x t (y t z) = (x t y) t z ;
  Ass u : x u (y u z) = (x u y) u z ;
   Id t : x t x = x ;
   Id u : x u x = x ;
   Abs1 : x u (x t y) = x ;
   Abs2 : x t (x u y) = x .
Ìíîæåñòâî B íàçûâàåòñÿ íîñèòåëåì áóëåâîé àëãåáðû B, à o è ι  âûäåëåííûìè ýëå-
ìåíòàìè èëè óíèâåðñàëüíûìè ãðàíÿìè.
   Òàêèì îáðàçîì, â áóëåâîé àëãåáðå äëÿ îáúåäèíåíèÿ è ïåðåñå÷åíèÿ âûïîëíÿþòñÿ ïàðû
çàêîíîâ êîììóòàòèâíîñòè ( Com ), ïåðâûé è âòîðîé äèñòðèáóòèâíûå çàêîíû ( Dtr1, 2 ),
çàêîíû àññîöèàòèâíîñòè ( Ass ), èäåìïîòåíòíîñòè ( Id )1 è ïîãëîùåíèÿ ( Abs). Îòìåòèì,
÷òî çàêîíû àññîöèàòèâíîñòè îáåñïå÷èâàþò ýêâèâàëåíòíîñòü ïðîèçâîëüíûõ ñêîáî÷íûõ
ñòðóêòóð êîíå÷íûõ îáúåäèíåíèé è ïåðåñå÷åíèé. Ïîíÿòíî, ÷òî â áóëåâîé àëãåáðå îïðå-
äåëåíû îáúåäèíåíèÿ è ïåðåñå÷åíèÿ ëþáîé êîíå÷íîé ñîâîêóïíîñòè ýëåìåíòîâ. Äàëåå ïðè
âûâîäå ñîîòíîøåíèé ìû, êàê ïðàâèëî, íå áóäåì ñïåöèàëüíî îòìå÷àòü ïðèìåíåíèå çàêîíîâ
àññîöèàòèâíîñòè è êîììóòàòèâíîñòè.
   Çàêîíû t o, u ι, t ι è u o îïèñûâàþò íåéòðàëüíûå è ïîãëîùàþùèå ñâîéñòâà îñî-
áûõ ýëåìåíòîâ áóëåâîé àëãåáðû ïî îòíîøåíèþ ê îáúåäèíåíèþ è ïåðåñå÷åíèþ. Ñâîéñòâà
    1 Îò   ëàò. idem  òî æå, potentia  ñèëà.

Страницы