Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Dtr Abs Cmp
0
Isl
0
A A σ
A
A = h A, σ
A
i A σ
A
A
σ
A
A
A
B σ
B
= h t
2
, u
2
,
01
, o
0
, ι
0
i
A S(A)
∪ ∩
−
A A P(A)
{ ∅, A } ⊆ S(A) ⊆ P(A)
h S(A), ∪, ∩,
−
, ∅, A i
P(A) A
{∅, A}
S(A) ∅
A
S(A)
t 7→ ∩ u 7→ ∩
0
7→
−
ι 7→ A o 7→ ∅
t o, u ι Cmp
0
, Isl
0
(X ∪ Y ) ∩ Z = (X ∩ Z) ∪ (Y ∩ Z)
X, Y, Z ∈ S(A)
w ∈ (X ∪ Y ) ∩ Z Z X Y
w ∈ X ∩ Z w ∈ Y ∩ Z w ∈ (X ∩ Z) ∪ (Y ∩ Z)
w ∈ (X ∩ Z) ∪ (Y ∩ Z) w ∈ X ∩ Z w ∈ Y ∩ Z w ∈ Z
w ∈ X w ∈ Y w ∈ (X ∪ Y ) ∩ Z ¤
1.2. Àëãåáðû ìíîæåñòâ                                                                   9


íà ñåãîäíÿøíèé äåíü (2008 ã.) áåçûçáûòî÷íàÿ ñàìîäâîéñòâåííàÿ ñèñòåìà àêñèîì áóëåâîé
àëãåáðû ñîäåðæèò ïî ïàðå çàêîíîâ Dtr, Abs, à òàêæå Cmp 0 è Isl 0 .
    Áóëåâà àëãåáðà ÿâëÿåòñÿ ïðèìåðîì àëãåáðàè÷åñêîé ñèñòåìû (ÀÑ), òî÷íåå, ÷àñòíî-
ãî ñëó÷àÿ ÀÑ  àëãåáðû . Ïðîèçâîëüíàÿ ÀÑ A çàäàåòñÿ ïàðîé ìíîæåñòâ A è σA , ò.å.
A = h A, σA i. Çäåñü A  íîñèòåëü, à σA  ñèãíàòóðà ÀÑ ñ íîñèòåëåì A. Íîñèòåëü ÀÑ
åñòü íåêîòîðîå íåïóñòîå ìíîæåñòâî. Ñèãíàòóðà σA àëãåáðû ñ íîñèòåëåì A åñòü óïîðÿ-
äî÷åííàÿ ñîâîêóïíîñòü ñèìâîëîâ îïåðàöèé, îòíîøåíèé è îñîáûõ ýëåìåíòîâ èç A. Åñëè
íóæíî ÿâíî óêàçàòü ìåñòíîñòü èëè àðíîñòü îïåðàöèé è îòíîøåíèé, èõ çàïèñûâàþò êàê
âåðõíèå èíäåêñû ó ñîîòâåòñòâóþùèõ ñèìâîëîâ (ñèìâîëû îñîáûõ ýëåìåíòîâ èìåþò íóëå-
âóþ ìåñòíîñòü). Åñëè ðåçóëüòàò íåêîòîðîé îïåðàöèè íàä ýëåìåíòàìè ìíîæåñòâà âñåãäà
ëåæèò â ýòîì ìíîæåñòâå, òî ãîâîðÿò, ÷òî ìíîæåñòâî óñòîé÷èâî îòíîñèòåëüíî äàííîé
îïåðàöèè, à îïåðàöèÿ óñòîé÷èâà íà äàííîì ìíîæåñòâå.  îïðåäåëåíèè àëãåáðû òðåáóåò-
ñÿ, ÷òîáû âñå îïåðàöèè áûëè óñòîé÷èâû íà å¼ íîñèòåëå. Çäåñü ïðèâåäåíî íåôîðìàëüíîå
ïîÿñíåíèå ïîíÿòèÿ ÀÑ, òî÷íûå îïðåäåëåíèÿ áóäóò äàíû â ï. 6.1.  ïðèëîæåíèè äëÿ
ïðèâåäåíû ôîðìàëüíûå îïèñàíèÿ êëàññè÷åñêèõ óíèâåðñàëüíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ ñèñòåì.
Êàê ñèíîíèìîì ïîíÿòèÿ ÀÑ ìû áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ òåðìèíîì ¾ñòðóêòóðà¿.
    Äëÿ ñëó÷àÿ áóëåâîé àëãåáðû ñ íîñèòåëåì B èìååì σB = h t2 , u2 , 01 , o0 , ι0 i (ñèãíà-
òóðà íå ñîäåðæèò ñèìâîëîâ îòíîøåíèé), è ñâîéñòâà óêàçàííûõ îïåðàöèé è âûäåëåííûõ
ýëåìåíòîâ íîñèòåëÿ îïèñûâàþòñÿ óêàçàííûìè âûøå çàêîíàìè. Åñëè ðàññìàòðèâàåòñÿ ÀÑ
çàäàííîé ñèãíàòóðû, òî, ñòðåìÿñü ê êðàòêîñòè, äëÿ å¼ îáîçíà÷åíèÿ ÷àñòî èñïîëüçóþò ïðî-
ñòî ñèìâîë íîñèòåëÿ. Ìû áóäåì òàê ïîñòóïàòü, êîãäà ýòî íå ïðèâîäèò ê íåäîðàçóìåíèÿì.


1.2 Àëãåáðû ìíîæåñòâ
   Ðàññìîòðèì íåïóñòîå ìíîæåñòâî A è íåêîòîðóþ ñîâîêóïíîñòü S(A) åãî ïîäìíîæåñòâ,
óñòîé÷èâóþ îòíîñèòåëüíî îïåðàöèé îáúåäèíåíèÿ (∪), ïåðåñå÷åíèÿ (∩) è äîïîëíåíèÿ (− )
äî A. Ìíîæåñòâî âñåõ ïîäìíîæåñòâ (áóëåàí ) A áóäåì îáîçíà÷àòü P(A). Ïîíÿòíî, ÷òî
{ ∅, A } ⊆ S(A) ⊆ P(A).
   Àëãåáðàè÷åñêàÿ ñèñòåìà h S(A), ∪, ∩, − , ∅, A i íàçûâàåòñÿ àëãåáðîé ìíîæåñòâ (äðó-
ãèå íàçâàíèÿ  ïîëå ìíîæåñòâ, àëãåáðà Êàíòîðà, àëãåáðà êëàññîâ ). Àëãåáðó ìíîæåñòâ
ñ íîñèòåëåì P(A) áóäåì íàçûâàòü òîòàëüíîé (íàä A), à ñ äâóõýëåìåíòíûì íîñèòåëåì
{∅, A}  òðèâèàëüíîé àëãåáðàìè ìíîæåñòâ.
   Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî èìååò ìåñòî
Óòâåðæäåíèå 1.1. Âñÿêàÿ àëãåáðà ìíîæåñòâ S(A) åñòü áóëåâà àëãåáðà ñ íóë¼ì ∅ è
åäèíèöåé A .

Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íî óáåäèòüñÿ, ÷òî â ëþáîé àëãåáðå S(A) ìíîæåñòâ âûïîëíÿþò-
ñÿ ïåðâûå âîñåìü çàêîíîâ áóëåâîé àëãåáðû â ôîðìóëèðîâêå êîòîðûõ ïðîèçâåäåíû ïîä-
ñòàíîâêè t 7→ ∩, u 7→ ∩, 0 7→ − , ι 7→ A, o 7→ ∅.
   Çàêîíû êîììóòàòèâíîñòè, t o, u ι è Cmp 0 , Isl 0 îïèñûâàþò ýëåìåíòàðíûå ñâîéñòâà
òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûõ îïåðàöèé.
    ñèëó ïðèíöèïà äâîéñòâåííîñòè äîñòàòî÷íî äîêàçàòü ñïðàâåäëèâîñòü äëÿ àëãåáðû
ìíîæåñòâ ïåðâîãî çàêîíà äèñòðèáóòèâíîñòè: (X ∪ Y ) ∩ Z = (X ∩ Z) ∪ (Y ∩ Z)
äëÿ ëþáûõ ïîäìíîæåñòâ X, Y, Z ∈ S(A). Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò
w ∈ (X ∪ Y ) ∩ Z . Îí ïðèíàäëåæèò Z , à òàêæå ëèáî X , ëèáî Y .  ïåðâîì ñëó÷àå
w ∈ X ∩ Z , à âî âòîðîì  w ∈ Y ∩ Z . Ñëåäîâàòåëüíî, w ∈ (X ∩ Z) ∪ (Y ∩ Z). Ïóñòü
òåïåðü w ∈ (X ∩ Z) ∪ (Y ∩ Z). Òîãäà w ∈ X ∩ Z èëè w ∈ Y ∩ Z , îòêóäà w ∈ Z è ëèáî
w ∈ X , ëèáî w ∈ Y , ò.å. w ∈ (X ∪ Y ) ∩ Z .                                      ¤

Страницы