Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

a
1
u a
2
= b 6= o b = a
1
b = a
2
¤
x At(x)
At(o) = ∅ B
At(B)
x =
G
a∈At(x)
a.
{1, 2, 3, 4} x = {1, 2, 3}
{1}, {2}, {3} x = {1} ∪ {2} ∪ {3}
At(x) = {a} x = a At(x) = ∅ x = o
ι
B
At(B) B
ϕ x B
At(x) ϕ
B P(At(B))
ϕ(x) = At(x) B P(At(B))
x At(x)
ϕ(x)
A
x x =
F
a∈A
a ϕ(x) = A ϕ
ϕ
ϕ
x, y B
x t y =
G
a
1
∈At(x)
a
1
t
G
a
2
∈At(y)
a
2
=
G
a∈At(x)∪At(y)
a,
ϕ(x t y) = ϕ(x) ∪ ϕ(y)
16                                                                  Ãëàâà 1. Áóëåâû àëãåáðû


Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè a1 u a2 = b 6= o, òî ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ, äîëæíî áûòü b = a1 è
b = a2 .                                                                           ¤

   Áóëåâà àëãåáðà, â êîòîðîé êàæäûé íåíóëåâîé ýëåìåíò ñîäåðæèò àòîì, íàçûâàåòñÿ
àòîìíîé. Âñå ðàññìîòðåííûå âûøå àëãåáðû àòîìíûå. Èç ëåììû 1.3 ñëåäóåò, ÷òî êîíå÷-
íàÿ áóëåâà àëãåáðà ÿâëÿåòñÿ àòîìíîé. Áóëåâó àëãåáðó, íå ñîäåðæàùóþ íè îäíîãî àòîìà
íàçûâàþò áåçàòîìíîé èëè íåïðåðûâíîé. Ïðèìåð áåçàòîìíîé áóëåâîé àëãåáðû áóäåò ïðè-
âåä¼í â ï. 5.1.
   Ìíîæåñòâî âñåõ àòîìîâ, ñîäåðæàùèõñÿ â ýëåìåíòå x îáîçíà÷èì At(x) è ôîðìàëüíî
ñ÷èòàòü, ÷òî At(o) = ∅. Ñîâîêóïíîñòü âñåõ àòîìîâ áóëåâîé àëãåáðû B áóäåì îáîçíà÷àòü
At(B).
Ëåììà 1.4. Âñÿêèé íåíóëåâîé ýëåìåíò êîíå÷íîé áóëåâîé àëãåáðû ìîæåò áûòü ïðåä-
ñòàâëåí â âèäå îáúåäèíåíèÿ ñîäåðæàùèõñÿ â í¼ì àòîìîâ:
                                        G
                                  x =       a.                                             (1.2)
                                              a∈At(x)


   Íàïðèìåð, â òîòàëüíîé àëãåáðå íàä ìíîæåñòâîì {1, 2, 3, 4} ýëåìåíò x = {1, 2, 3}
ñîäåðæèò àòîìû {1}, {2}, {3} è ðàâåí èõ îáúåäèíåíèþ: x = {1} ∪ {2} ∪ {3}. Ïðè
At(x) = {a} ôîðìàëüíî ïîëàãàþò x = a, à ïðè At(x) = ∅  x = o. Ïîíÿòíî, ÷òî
åäèíèöà ι åñòü îáúåäèíåíèå âñåõ àòîìîâ áóëåâîé àëãåáðû.Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé ïðîñòîé
ëåììû îòëîæèì äî ï. 5.2.
     Äëÿ êîíå÷íîãî ñëó÷àÿ òåîðåìà Ñòîóíà äîïóñêàåò ñëåäóþùåå óñèëåíèå.
Òåîðåìà 1.4. Âñÿêàÿ êîíå÷íàÿ áóëåâà àëãåáðà èçîìîðôíà ïîäõîäÿùåé òîòàëüíîé àëãåá-
ðå ìíîæåñòâ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü B  êîíå÷íàÿ áóëåâà àëãåáðà. Ïîñòðîèì òîòàëüíóþ àëãåáðó ìíî-
æåñòâ íàä At(B) è ïîêàæåì, ÷òî îíà èçîìîðôíà B . Ïðè ýòîì áóäåì ïîñòîÿííî ïîëüçî-
âàòüñÿ óòâåðæäåíèåì ëåììû 1.4.
   Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ ϕ, ñîïîñòàâëÿþùóþ êàæäîìó ýëåìåíòó x èç B ìíîæåñòâî
At(x) ñîäåðæàùèõñÿ â í¼ì àòîìîâ. Ïîêàæåì, ÷òî ϕ ÿâëÿåòñÿ èñêîìûì èçîìîðôèçìîì
ìåæäó B è P(At(B)).
   Óáåäèìñÿ ñíà÷àëà, ÷òî ϕ(x) = At(x)  áèåêöèÿ9 ìåæäó B è P(At(B)). Èç ðàçëîæå-
íèÿ 1.2 ñëåäóåò, ÷òî

 1) ýëåìåíò x îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì At(x) ñâîèõ àòîìîâ è íàîáîðîò,
    ò.å. îòîáðàæåíèå ϕ(x) èíúåêòèâíî;
 2) äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ïîäìíîæåñòâà FA àòîìîâ áóëåâîé àëãåáðû ìîæíî îïðåäåëèòü
    ýëåìåíò x ïî ñîîòíîøåíèåì x = a∈A a, òîãäà ϕ(x) = A è ϕ  ñþðúåêòèâíî.

Òàêèì îáðàçîì, áèåêòèâíîñòü îòîáðàæåíèÿ ϕ ïîêàçàíà.
   Òåïåðü óäîñòîâåðèìñÿ, ÷òî äëÿ ϕ âûïîëíåíû ñâîéñòâà (1)(3) îïðåäåëåíèÿ 1.3 (íè-
æåïðèâåä¼ííûå âûêëàäêè ïðîâåäåíû äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ýëåìåíòîâ x, y èç B ).
   Âî-ïåðâûõ, î÷åâèäíî, ÷òî
                             G         G            G
                   xty =          a1 t     a2 =             a,
                                a1 ∈At(x)    a2 ∈At(y)     a∈At(x)∪At(y)


îòêóäà ϕ(x t y) = ϕ(x) ∪ ϕ(y).
   9 ×èòàòåëþ èçâåñòíû ñâîéñòâà èíúåêòèâíîñòè, ñþðúåêòèâíîñòè è áèåêòèâíîñòè îòîáðàæåíèé. Èõ àë-
ãåáðàè÷åñêèå îïðåäåëåíèÿ áóäóò äàíû â ï. 2.6.

Страницы