Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

I = {1, . . . , n} i ∈ I
A
i
{A
i
}
i∈I
( a
1
, a
2
, . . . , a
n
) a
i
∈ A
i
, i ∈ I
A
1
× A
2
× . . . × A
n
n
Y
i =1
A
i
.
A × B 6= B × A A × B × C (A × B) × C A × (B × C)
n A A
n
n A A
1
= A A
0
A A
m
× A
n
6= A
m+n
ρ ⊆ A
1
× . . . × A
n
n (a
1
, . . . , a
n
) ∈ ρ a
i
∈ A
i
i = 1, . . . , n
ρ A
1
×. . .×A
n
a
1
∈ A
1
a
2
∈ A
2
, . . . , a
n
∈ A
n
(a
1
, a
2
, . . . , a
n
) ∈ ρ
ρ A
1
i ρ
P r
i
ρ
i i
n
1 0 ρ (a
1
, . . . , a
n
)
(a
1
, . . . , a
n
) ∈ ρ
∨ N ¬
≡
¡
¢
18                                                      Ãëàâà 2. Îòíîøåíèÿ è ñîîòâåòñòâèÿ.


Ãëàâà 2
Îòíîøåíèÿ è ñîîòâåòñòâèÿ
   ¾Ïîíÿòèå îòîáðàæåíèè ÿâëÿåòñÿ íàñòîëüêî îáùèì, ÷òî, âîîáùå ãîâîðÿ, ëþáîå àëãåá-
ðàè÷åñêîå ïîñòðîåíèå â ÿâíîé èëè íåÿâíîé ôîðìå îñíîâûâàåòñÿ íà ïîíÿòèè îòîáðàæåíèÿ.
Ïîýòîìó ëþáàÿ ðàáîòà ïî àëãåáðå â òîé èëè èíîé ñòåïåíè ïîñâÿùåíà èçó÷åíèþ îòîáðà-
æåíèé ìíîæåñòâ.¿ [ È.È. Âàëóöå. ¾Îòîáðàæåíèÿ. Àëãåáðàè÷åñêèå àñïåêòû òåîðèè¿ ].


2.1 Äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå ìíîæåñòâ è îòíîøåíèÿ
   Ïóñòü I = {1, . . . , n}  ìíîæåñòâî èíäåêñîâ è êàæäîìó i ∈ I ñîïîñòàâëåíî íåïóñòîå
ìíîæåñòâî Ai . Äåêàðòîâûì (èëè ïðÿìûì ) ïðîèçâåäåíèåì ìíîæåñòâ {Ai }i∈I íàçûâàþò
ìíîæåñòâî êîíå÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ( a1 , a2 , . . . , an ), ãäå ai ∈ Ai , i ∈ I . Äåêàðòîâî
ïðîèçâåäåíèå îáû÷íî îïðåäåëÿþò äëÿ ïðîèçâîëüíîé, à íå òîëüêî êîíå÷íîé, ñîâîêóïíîñòè
èíäåêñîâ. Íàì, îäíàêî, áóäåò äîñòàòî÷íî äàííîãî îïðåäåëåíèÿ è â äàëüíåéøåì ìû áóäåì
îáîçíà÷àòü äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå
                                                             n
                                                             Y
                              A1 × A2 × . . . × An   èëè            Ai .
                                                             i =1


   Çàìåòèì, ÷òî A × B 6= B × A; òàêæå A × B × C , (A × B) × C è A × (B × C) ñóòü
ðàçíûå ìíîæåñòâà.
   Äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå n ýêçåìïëÿðîâ ìíîæåñòâà A îáîçíà÷àþò An è íàçûâàþò
n-îé äåêàðòîâîé ñòåïåíüþ ìíîæåñòâà A. Åñòåñòâåííî ïîëàãàþò A1 = A, à ïîä A0
ïîíèìàþò íåêîòîðîå îäíîýëåìåíòíîå ïîäìíîæåñòâî A. ßñíî, ÷òî Am × An 6= Am+n .

Îïðåäåëåíèå 2.1. Îòíîøåíèÿ ñóòü ïîäìíîæåñòâà äåêàðòîâûõ ïðîèçâåäåíèé ìíîæåñòâ.
   ×èñëî ìíîæåñòâ â ñîîòâåòñòâóþùåì äåêàðòîâîì ïðîèçâåäåíèè îïðåäåëÿåò ìåñòíîñòü
èëè àðíîñòü îòíîøåíèÿ. Ãîâîðÿò îá óíàðíûõ (îäíîìåñòíûõ), áèíàðíûõ (äâóõìåñòíûõ),
òåðíàðíûõ (òð¼õìåñòíûõ) è ò.ä. îòíîøåíèÿõ. Ïîíÿòíî, ÷òî îòíîøåíèå ρ ⊆ A1 × . . . × An
îïðåäåëÿåò ñîâîêóïíîñòü n-îê (a1 , . . . , an ) ∈ ρ, ai ∈ Ai , i = 1, . . . , n.

Îïðåäåëåíèå 2.2. Åñëè ρ  îòíîøåíèå íà A1 ×. . .×An , òî ñîâîêóïíîñòü âñåõ ýëåìåíòîâ
a1 ∈ A1 äëÿ êîòîðûõ íàéäóòñÿ òàêèå a2 ∈ A2 , . . . , an ∈ An , ÷òî (a1 , a2 , . . . , an ) ∈ ρ, íà-
çûâàþò ïðîåêöèåé îòíîøåíèÿ ρ íà ìíîæåñòâî A1 èëè ïåðâîé ïðîåêöèåé. Àíàëîãè÷íî
îïðåäåëÿþòñÿ âòîðûå, òðåòüè è ò.ä. ïðîåêöèè. Ñèìâîëè÷åñêè i-ÿ ïðîåêöèÿ ρ îáîçíà÷à-
åòñÿ P ri ρ.

     Òàêèì îáðàçîì, i-ÿ ïðîåêöèÿ îòíîøåíèÿ ñîñòîèò èç âñåõ ýëåìåíòîâ, ñòîÿùèõ íà i-ì
ìåñòå â n-êàõ èç äàííîãî îòíîøåíèÿ.
     Îòíîøåíèÿ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ïðåäèêàòû, ò.å. ôóíêöèè, ïðèíèìàþùèå äâà
çíà÷åíèÿ  ¾èñòèíà¿ ( 1 ) è ¾ëîæü¿ ( 0 ), à èìåííî, ρ (a1 , . . . , an ) èñòèííî, åñëè
(a1 , . . . , an ) ∈ ρ è ëîæíî â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Ïîýòîìó ê îòíîøåíèÿì ìîæíî ïðèìåíÿòü
îïåðàöèè àëãåáðû ëîãèêè: äèçúþíêöèè (∨), êîíúþíêöèè (N), îòðèöàíèÿ (¬), òîæäåñòâà
(≡), èìïëèêàöèè ( ¡¢) è äð. Ïðè ÷òåíèè ñîîòâåòñòâóþùèõ ôîðìóë ñëåäóåò èìåòü â âèäó,
÷òî, ïîñêîëüêó ïðèîðèòåò îòíîøåíèé âûøå ïðèîðèòåòà îïåðàöèé àëãåáðû ëîãèêè, ñêîáêè
âîêðóã îòíîøåíèé, êàê ïðàâèëî, îïóñêàþò.

Страницы