Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

x u y =
G
a
1
∈At(x)
a
1
u
G
a
2
∈At(y)
a
2
Dtr1
=
G
a
1
∈At(x)
a
2
∈At(y)
(a
1
u a
2
)
(1.1)
=
G
a∈At(x)∩At(y)
a,
ϕ(x u y) = ϕ(x) ∩ ϕ(y)
y = x
0
At(x) ∪ At(x
0
) = At(B) At(x) ∩ At(x
0
) = ∅,
At(x
0
) = At(B) r At(x) ϕ(x
0
) = ϕ(x) ¤
n
2
n
n
n 2
n
At(B) = At(ι)
σ
B
B
∼
=
b
P(At(B)).
1.4. Òåîðåìà Ñòîóíà                                                                                          17


   Âî-âòîðûõ,
                      G                 G           Dtr1
                                                               G                (1.1)       G
          xuy =                a1 u               a2 =                 (a1 u a2 ) =                     a,
                   a1 ∈At(x)          a2 ∈At(y)            a1 ∈At(x)                    a∈At(x)∩At(y)
                                                           a2 ∈At(y)



ò.å. ϕ(x u y) = ϕ(x) ∩ ϕ(y).
    Â-òðåòüèõ, ïîäñòàâëÿÿ â ïîëó÷åííûå âûøå ðàâåíñòâà y = x 0 èìååì

                  At(x) ∪ At(x 0 ) = At(B)                 è    At(x) ∩ At(x 0 ) = ∅,

îòêóäà ïî ëåììå 1.1 At(x 0 ) = At(B) r At(x) è ϕ(x 0 ) = ϕ(x).                                               ¤

   Äîêàçàííàÿ òåîðåìà èìååò ñëåäóþùèå ïðîñòûå
Ñëåäñòâèÿ.     1. Åñëè êîíå÷íàÿ áóëåâà àëãåáðà èìååò n àòîìîâ, òî îáùåå ÷èñëî å¼
     ýëåìåíòîâ ðàâíî 2n .
  2. Ëþáàÿ êîíå÷íàÿ áóëåâà àëãåáðà èçîìîðôíà ïîäõîäÿùåé àëãåáðå n-ìåðíûõ äâîè÷íûõ
     âåêòîðîâ.
   Ïåðâîå ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî ìîùíîñòü ìíîæåñòâà âñåõ ïîäìíîæåñòâ ñîâîêóïíîñòè èç
àòîìîâ n åñòü 2n , à âòîðîå  èç ïðèìåðà 1.5.2.

   Òåîðåìà Ñòîóíà ïîêàçûâàåò, ÷òî ýëåìåíòû ëþáîé áóëåâîé àëãåáðû ìîæíî ñ÷èòàòü
ïîäìíîæåñòâàìè íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà, à áóëåâû îïåðàöèè îòîæäåñòâëÿòü ñ îäíîèì¼í-
íûìè òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûìè.
   Åñëè â áóëåâîé àëãåáðå îïðåäåëåíû îáúåäèíåíèå è ïåðåñå÷åíèå ïðîèçâîëüíîé ñîâî-
êóïíîñòè å¼ ýëåìåíòîâ, òî òàêàÿ áóëåâà àëãåáðà íàçûâàåòñÿ ïîëíîé. Ëåãêî ïîêàçûâàåòñÿ,
÷òî â ïîëíîé àòîìíîé áóëåâîé àëãåáðå At(B) = At(ι). ßñíî, ÷òî ïîëíîé áóëåâîé àëãåáðîé
ÿâëÿåòñÿ ëþáàÿ àëãåáðà ìíîæåñòâ, à σ -àëãåáðà, ãäå ýòè îïåðàöèè ìîãóò áûòü âçÿòû ëèøü
ïî ñ÷¼òíîé ñîâîêóïíîñòè ìíîæåñòâ, ÿâëÿåòñÿ ïðîìåæóòî÷íîé ìåæäó îáû÷íîé è ïîëíîé
áóëåâûìè àëãåáðàìè.
   Ïðèâåä¼ííîå äîêàçàòåëüñòâî îñòàíåòñÿ ñïðàâåäëèâûì äëÿ ïîëíûõ àòîìíûõ àëãåáð, è
ñïðàâåäëèâîé ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùàÿ
Òåîðåìà 1.5 (Î ïðåäñòàâëåíèè ïîëíûõ àòîìíûõ áóëåâûõ àëãåáð). Ïóñòü B 
ïîëíàÿ àòîìíàÿ áóëåâà àëãåáðà. Òîãäà

                                            B ∼
                                              =b P(At(B)).

   Òàêèì îáðàçîì, ñ òî÷íîñòüþ äî èçîìîðôèçìà ïîëíûå àòîìíûå áóëåâû àëãåáðû èñ÷åð-
ïûâàþòñÿ òîòàëüíûìè àëãåáðàìè ïîäõîäÿùèõ ìíîæåñòâ.
   Çàìåòèì, ÷òî äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû Ñòîóíà â ñëó÷àå áåñêîíå÷íûõ áóëåâûõ àë-
ãåáð èñïîëüçóåòñÿ ïîíÿòèå óëüòðàôèëüòðà (ñì. ï. 4.2).

Страницы